Problem P. 5114. (March 2019)

P. 5114. Ending at the rim of the table there is a slope of angle of elevation of \(\displaystyle \alpha\), from which a uniform density rectangular block of length \(\displaystyle \ell\) and of height \(\displaystyle d\) is sliding down. By what length does the block move further from the end of the table until it tilts, if

\(\displaystyle a)\) friction between the slope and the block is negligible;

\(\displaystyle b)\) the coefficient of kinetic friction between the slope and the block is \(\displaystyle \mu\) (\(\displaystyle 0<\mu<\tan\alpha\), and \(\displaystyle \mu d<\ell\))?

(5 pont)

Deadline expired on April 10, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

I. megoldás. A testre ható erők: \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, a lejtő \(\displaystyle N\) nyomóereje, ami határesetben a lejtő alsó élénél, az \(\displaystyle O\) pontnál hat, valamint az \(\displaystyle S\) súrlódási erő (1. ábra). A hasáb a lejtőre merőlegesen nem gyorsul, így

\(\displaystyle N=mg\cos\alpha.\)

A súrlódási erő (mivel a hasáb csúszik):

\(\displaystyle S=\mu N=\mu mg \cos\alpha.\)

A test gyorsulása (a lejtő irányú eredő erőből számolva):

\(\displaystyle a=\frac{mg\sin\alpha-S}{m}=g(\sin\alpha-\mu \cos\alpha).\)

(A \(\displaystyle \mu\)-re megadott egyenlőtlenség miatt \(\displaystyle a>0\).)

1. ábra

A hasáb mindaddig nem billen meg, amíg a rá ható erők forgatónyomatéka a tömegközéppontjára vonatkoztatva nulla. Határesetben (amikor az \(\displaystyle N\) erő erőkarja a lehető legnagyobb):

\(\displaystyle S\frac{d}{2}-N\left(\frac{\ell}{2}-x\right)=0,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{d}{2}\, mg\mu \cos\alpha=\left(\frac{\ell}{2}-x\right)\,mg\cos\alpha.\)

Innen a hasáb legnagyobb túlnyúlása az asztal peremén (a lejtő esésvonala mentén mérve):

\(\displaystyle x=\frac{\ell-\mu d}{2}.\)

Érdekes, hogy ez az eredmény nem függ a lejtő hajlásszögétől.

Amennyiben a súrlódás elhanyagolható, vagyis \(\displaystyle \mu=0\), a legnagyobb túlnyúlás: \(\displaystyle x=\frac{\ell}{2}\).

Megjegyzés. Ha a külső erők forgatónyomatékát nem a tömegközéppontra, hanem – mondjuk – a hasáb és a lejtő legalsó érintkezési pontjára írjuk fel, és ennek az eredő forgatónyomatéknak az eltűnését követeljük meg, hibás eredményt kapunk! Egyensúlyi állapotban a nyugvó testre ható erők forgatónyomatéka bármely pontra vonatkoztatva nulla, de a gyorsulva mozgó merev testekre ez általában már nem igaz. Helyes eredményt csak a tömegközéppontra és még néhány speciális helyzetű pontra felírt forgatónyomaték-egyensúlyi egyenletekből kapunk. Elterjedt tévhit, hogy a pillanatnyi forgástengely pontjai is ilyen speciális pontok, ez azonban általában nem igaz.

II. megoldás. A forgási egyensúly problémáját visszavezethetjük egy statikai feladatra, ha ,,beleülünk'' a téglatesttel együtt gyorsuló mozgást végző vonatkoztatási rendszerbe. Innen nézve a test (minden szempontból) egyensúlyban van, tehát a rá ható erők eredő forgatónyomatéka bármely pontra, így a lejtő és a lejtő alsó élénél lévő \(\displaystyle O\) pontra nézve is nulla. Nem szabad megfeledkeznünk arról, hogy ebben a gyorsuló koordináta-rendszerben fellép egy – a test tömegközéppontjában ható – \(\displaystyle ma\) nagyságú, a gyorsulással ellentétes irányú ún. tehetetlenségi erő is (2. ábra).

2. ábra

Az \(\displaystyle O\) pontra az \(\displaystyle N\) és az \(\displaystyle S\) erőnek nincs forgatónyomatéka, hanem csak a nehézségi erőnek és a tehetetlenségi erőnek. Ezek lejtő irányú komponense

\(\displaystyle mg\sin\alpha-ma=mg\sin\alpha-mg(\sin\alpha-\mu \cos\alpha)=\mu mg \cos\alpha,\)

\(\displaystyle d/2\) nagyságú erőkarral, a lejtőre merőleges erőkomponens pedig \(\displaystyle mg\cos\alpha\), az erőkar pedig \(\displaystyle (\ell/2-x).\) A forgatónyomatékok egyensúlyi egyenlete:

\(\displaystyle \frac{d}{2}\,\mu mg \cos\alpha=\left(\frac{\ell}{2}-x\right)\,mg\cos\alpha,\)

ahonnan

\(\displaystyle x=\frac{\ell-\mu d}{2}.\)

Statistics:

31 students sent a solution.
5 points:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Elek Péter, Fekete Levente, Havasi Márton, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Kertész Balázs, Markó Gábor, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schneider Anna, Selmi Bálint, Szabó 314 László, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Vass Bence.
3 points:	2 students.
2 points:	3 students.
0 point:	5 students.

Problems in Physics of KöMaL, March 2019