 |
A P. 5115. feladat (2019. március) |
P. 5115. Egy gömbszimmetrikus tömegeloszlású exobolygó tömege a Föld tömegének négyszerese, a nehézségi gyorsulás a – nem forgó – bolygó felszínén a földi érték kétszerese.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a bolygó sugara és az átlagsűrűsége?
\(\displaystyle b)\) Mekkora a bolygón az első kozmikus sebesség?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A nehézségi gyorsulás \(\displaystyle (g)\) a bolygó talajszintjén \(\displaystyle M/R^2\)-tel arányos, így
\(\displaystyle \frac{g_\text{bolygó}}{g_\text{Föld}}=\frac{M_\text{bolygó}}{M_\text{Föld}}\left(\frac{R_\text{Föld}}{R_\text{bolygó}}\right)^2=2,\)
ahonnan
\(\displaystyle \frac{R_\text{bolygó}}{R_\text{Föld}}=\sqrt{2},\qquad R_\text{bolygó}\approx 9010~\rm km.\)
Az átlagsűrűség \(\displaystyle M/R^3\)-nel arányos, így
\(\displaystyle \frac{\varrho_\text{bolygó}}{\varrho_\text{Föld}}=\frac{M_\text{bolygó}}{M_\text{Föld}}\left(\frac{R_\text{Föld}}{R_\text{bolygó}}\right)^3=\sqrt2, \qquad {\varrho_\text{bolygó}}\approx \sqrt{2}\cdot 5{,}5~\frac{\rm kg}{\rm dm^3}\approx7{,}8~\frac{\rm kg}{\rm dm^3}.\)
\(\displaystyle b)\) Az első kozmikus sebesség (a bolygó felületének közelében) \(\displaystyle \sqrt{M/R}\)-rel arányos, így
\(\displaystyle v^{(I)}_\text{bolygó}=\sqrt[4]{8}\cdot v^{(I)}_\text{Föld}\approx 13{,}3~\frac{\rm km}{\rm s}.\)
Statisztika:
72 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 51 versenyző. 4 pontot kapott: 14 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai