A P. 5116. feladat (2019. március)

P. 5116. $\displaystyle R$ és $\displaystyle 3R$ belső sugarú vezető gömbhéj egymástól távol helyezkedik el, falvastagságuk $\displaystyle d\ll R$. A gömbök középpontjában $\displaystyle 2Q$, illetve $\displaystyle Q$ töltés van. Mekkora minimális munkával lehet ezeket a töltéseket felcserélni? (A falakon kis lyukak vannak.)

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Jelöljük a gömbhéjak belső sugarát $\displaystyle R_1$-gyel és $\displaystyle R_2$-vel, kezdeti töltésüket $\displaystyle Q_1$-gyel és $\displaystyle Q_2$-vel. (Esetünkben $\displaystyle R_1=R$, $\displaystyle R_2=3R$, $\displaystyle Q_1=2Q$, $\displaystyle Q_2=Q$, de a megoldást általános esetre is megadjuk.)

A két (egymástól távol lévő) gömbhéjon belül és azon kívül is az elektromos mező ugyanolyan, mint egy-egy ponttöltés (vagy kicsiny, gömbszimmetrikusan eloszló töltés) Coulomb-féle elektrosztatikus erőtere. A különbség ,,mindössze'' annyi, hogy a vezető gömbhéj elektromos megosztása miatt annak $\displaystyle d$ vastagságú ,,belsejében'' az elektromos térerősség nulla. A $\displaystyle Q_1$ töltés körül például ilyen az elektromos mező:

$\displaystyle E(r) =\begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2}, & \text{ha \(\displaystyle 0<r<R_1\)}; \\ 0, & \text{ha \(\displaystyle R_1<r<R_1+d;\)}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2},&\text{ha \(\displaystyle r>R_1+d;\)} \end{cases}$

ahol $\displaystyle r$ a $\displaystyle Q_1$ töltéstől mért távolság.

Hasonló elektromos mező alakul ki a másik töltés körül is, csak ott $\displaystyle Q_1$ helyébe $\displaystyle Q_2$ kerül, a gömbhéj sugara $\displaystyle R_2$, és $\displaystyle r$ a $\displaystyle Q_2$ töltéstől mért távolság. Ha a két gömbhéj elegendően messze van egymástól, a két erőtér ,,nem zavarja'' egymást, az eredő tér a kettő szuperpozíciója lesz.

Számítsuk ki az egész elrendezés elektrosztatikus energiáját az eredeti, majd a töltések felcserélése utáni esetben. A töltéscsere során végzett munka legalább annyi kell legyen, amennyi az elektrosztatikus energia megváltozása (növekedése).

Jelöljük a két töltés elektrosztatikus energiáját $\displaystyle W_0$-lal abban az esetben, amikor nincsenek ott a vezető gömbhéjak. (Pontszerű töltésekre ez az energia végtelen nagy lenne, azonban tetszőlegesen kicsi, de véges $\displaystyle r_0$ sugarú gömbbe zárt töltésekre már véges mennyiség.) Az elektrosztatikus mező energiasűrűsége (egységnyi térfogatra jutó energiája) $\displaystyle \tfrac12\varepsilon_0 E^2$, így a két töltésből és a két gömbhéjból álló rendszer energiája a ,,hiányzó'' részek levonásával így kapható meg. A hiányzó részben az elektromos térerősség pontosan olyan, mint egy megfelelő töltésű és méretű gömbkondenzátorban, az elektrosztatikus energia is ennek megfelelően számolható:

$\displaystyle W_\text{kezdeti}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_2^2}{R_2(R_2+d)}\right).$

Hasonló módon a töltések felcserélése utáni elrendezés elektrosztatikus energiája:

$\displaystyle W_\text{végső}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_1^2}{R_2(R_2+d) }\right),$

a szükséges munkavégzés pedig (legalább)

$\displaystyle W=W_\text{végső}-W_\text{kezdeti}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1(R_1+d)}-\frac{1}{R_2(R_2+d)}\right).$

(Vegyük észre, hogy $\displaystyle W$ képletéből $\displaystyle W_0$ kiesett, így annak tetszőlegesen nagy értéke mellett a szükséges munkavégzés véges marad, és nem függ a töltések $\displaystyle r_0$ sugarától.)

A töltések és gömbhéjsugarak megadott értéke mellett $\displaystyle d\ll R$ esetén:

$\displaystyle W\approx\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.$

II. megoldás. A $\displaystyle Q_1$ és $\displaystyle Q_2$ töltések felcserélése helyett úgy is elérhetjük a végállapotot, ha az egyik gömbhéj közepénél lévő $\displaystyle Q_1$ töltésből $\displaystyle \Delta Q=Q_1-Q_2$ nagyságú töltést átvezetünk a másik gömbhéj közepéhez. Az átvezetést úgy oldhatjuk meg, hogy a gömbhéjakon lévő kis lyukakon keresztül egy szigetelt vezetéket és egy áramgenerátort kapcsolunk a töltéseket ,,tároló'' és ugyancsak vezetőnek gondolt, $\displaystyle r_0$ sugarú gömbökhöz. (A vezeték ugyan eltorzítja a gömbhéj töltéseloszlását, és ezt a torzító hatást elég nehéz lenne figyelembe venni, de ugyanilyen zavart okoz minden más módon történő töltéscsere.) A generátor által végzett munka $\displaystyle U\cdot \Delta Q$, ahol $\displaystyle U$ a töltéstároló gömbök közötti feszültség, vagy ha ez feszültség a töltésáramlás közben változna, akkor a feszültség átlagos értéke.

Egyetlen töltés helyén az elektromos potenciál (a végtelen távoli ponthoz viszonyítva) a nagyon távoli pont és a gömbhéj külső felülete közötti feszültség, valamint a gömbhéj belső felülete és a töltés helye közötti potenciálkülönbség összege. A kezdeti állapotban a $\displaystyle Q_1$ töltés helyén a potenciál

$\displaystyle \Phi_1=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1+d}+\frac{1}{r_0}-\frac{1}{R_1}\right) \approx \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_1^2}\right),$

a másik töltésnél jó közelítéssel

$\displaystyle \Phi_2= \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_2^2}\right),$

a feszültség tehát kezdetben

$\displaystyle U_\text{kezdeti} =\Phi_2-\Phi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2-Q_1}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2}{R_2^2}-\frac{Q_1}{R_1^2}\right).$

A töltéscsere utáni állapotban a feszültség

$\displaystyle U_\text{végső} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1-Q_2}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_2^2}-\frac{Q_2}{R_1^2}\right).$

Látjuk, hogy a feszültség a töltésátrendeződés közben nem marad állandó, de mivel a változás a töltés változásával arányos (lineáris), az átlagos feszültség a kezdeti és a végső feszültség számtani közepe:

$\displaystyle U_\text{átlag}=\frac{U_\text{kezdeti}+U_\text{végső}}{2}= \frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1+Q_2\right)\,\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right).$

(Vegyük észre, hogy az $\displaystyle 1/r_0$-lal arányos, pontszerű töltéseknél végtelenhez tartó tag kiesik az átlagfeszültségből.)

A szükséges (minimális) munka:

$\displaystyle W=\Delta Q\cdot U_\text{átlag}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right) =\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.$

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Elek Péter, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Sal Dávid, Sas 202 Mór.
4 pontot kapott:	Fekete András Albert, Mácsai Dániel, Szabó 314 László.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai