A P. 5116. feladat (2019. március)

P. 5116. \(\displaystyle R\) és \(\displaystyle 3R\) belső sugarú vezető gömbhéj egymástól távol helyezkedik el, falvastagságuk \(\displaystyle d\ll R\). A gömbök középpontjában \(\displaystyle 2Q\), illetve \(\displaystyle Q\) töltés van. Mekkora minimális munkával lehet ezeket a töltéseket felcserélni? (A falakon kis lyukak vannak.)

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Jelöljük a gömbhéjak belső sugarát \(\displaystyle R_1\)-gyel és \(\displaystyle R_2\)-vel, kezdeti töltésüket \(\displaystyle Q_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_2\)-vel. (Esetünkben \(\displaystyle R_1=R\), \(\displaystyle R_2=3R\), \(\displaystyle Q_1=2Q\), \(\displaystyle Q_2=Q\), de a megoldást általános esetre is megadjuk.)

A két (egymástól távol lévő) gömbhéjon belül és azon kívül is az elektromos mező ugyanolyan, mint egy-egy ponttöltés (vagy kicsiny, gömbszimmetrikusan eloszló töltés) Coulomb-féle elektrosztatikus erőtere. A különbség ,,mindössze'' annyi, hogy a vezető gömbhéj elektromos megosztása miatt annak \(\displaystyle d\) vastagságú ,,belsejében'' az elektromos térerősség nulla. A \(\displaystyle Q_1\) töltés körül például ilyen az elektromos mező:

\(\displaystyle E(r) =\begin{cases} \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2}, & \text{ha \(\displaystyle 0<r<R_1\)}; \\ 0, & \text{ha \(\displaystyle R_1<r<R_1+d;\)}\\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q_1}{r^2},&\text{ha \(\displaystyle r>R_1+d;\)} \end{cases}\)

ahol \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle Q_1\) töltéstől mért távolság.

Hasonló elektromos mező alakul ki a másik töltés körül is, csak ott \(\displaystyle Q_1\) helyébe \(\displaystyle Q_2\) kerül, a gömbhéj sugara \(\displaystyle R_2\), és \(\displaystyle r\) a \(\displaystyle Q_2\) töltéstől mért távolság. Ha a két gömbhéj elegendően messze van egymástól, a két erőtér ,,nem zavarja'' egymást, az eredő tér a kettő szuperpozíciója lesz.

Számítsuk ki az egész elrendezés elektrosztatikus energiáját az eredeti, majd a töltések felcserélése utáni esetben. A töltéscsere során végzett munka legalább annyi kell legyen, amennyi az elektrosztatikus energia megváltozása (növekedése).

Jelöljük a két töltés elektrosztatikus energiáját \(\displaystyle W_0\)-lal abban az esetben, amikor nincsenek ott a vezető gömbhéjak. (Pontszerű töltésekre ez az energia végtelen nagy lenne, azonban tetszőlegesen kicsi, de véges \(\displaystyle r_0\) sugarú gömbbe zárt töltésekre már véges mennyiség.) Az elektrosztatikus mező energiasűrűsége (egységnyi térfogatra jutó energiája) \(\displaystyle \tfrac12\varepsilon_0 E^2\), így a két töltésből és a két gömbhéjból álló rendszer energiája a ,,hiányzó'' részek levonásával így kapható meg. A hiányzó részben az elektromos térerősség pontosan olyan, mint egy megfelelő töltésű és méretű gömbkondenzátorban, az elektrosztatikus energia is ennek megfelelően számolható:

\(\displaystyle W_\text{kezdeti}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_2^2}{R_2(R_2+d)}\right).\)

Hasonló módon a töltések felcserélése utáni elrendezés elektrosztatikus energiája:

\(\displaystyle W_\text{végső}=W_0-\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2^2}{R_1(R_1+d)}+\frac{Q_1^2}{R_2(R_2+d) }\right),\)

a szükséges munkavégzés pedig (legalább)

\(\displaystyle W=W_\text{végső}-W_\text{kezdeti}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1(R_1+d)}-\frac{1}{R_2(R_2+d)}\right).\)

(Vegyük észre, hogy \(\displaystyle W\) képletéből \(\displaystyle W_0\) kiesett, így annak tetszőlegesen nagy értéke mellett a szükséges munkavégzés véges marad, és nem függ a töltések \(\displaystyle r_0\) sugarától.)

A töltések és gömbhéjsugarak megadott értéke mellett \(\displaystyle d\ll R\) esetén:

\(\displaystyle W\approx\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.\)

II. megoldás. A \(\displaystyle Q_1\) és \(\displaystyle Q_2\) töltések felcserélése helyett úgy is elérhetjük a végállapotot, ha az egyik gömbhéj közepénél lévő \(\displaystyle Q_1\) töltésből \(\displaystyle \Delta Q=Q_1-Q_2\) nagyságú töltést átvezetünk a másik gömbhéj közepéhez. Az átvezetést úgy oldhatjuk meg, hogy a gömbhéjakon lévő kis lyukakon keresztül egy szigetelt vezetéket és egy áramgenerátort kapcsolunk a töltéseket ,,tároló'' és ugyancsak vezetőnek gondolt, \(\displaystyle r_0\) sugarú gömbökhöz. (A vezeték ugyan eltorzítja a gömbhéj töltéseloszlását, és ezt a torzító hatást elég nehéz lenne figyelembe venni, de ugyanilyen zavart okoz minden más módon történő töltéscsere.) A generátor által végzett munka \(\displaystyle U\cdot \Delta Q\), ahol \(\displaystyle U\) a töltéstároló gömbök közötti feszültség, vagy ha ez feszültség a töltésáramlás közben változna, akkor a feszültség átlagos értéke.

Egyetlen töltés helyén az elektromos potenciál (a végtelen távoli ponthoz viszonyítva) a nagyon távoli pont és a gömbhéj külső felülete közötti feszültség, valamint a gömbhéj belső felülete és a töltés helye közötti potenciálkülönbség összege. A kezdeti állapotban a \(\displaystyle Q_1\) töltés helyén a potenciál

\(\displaystyle \Phi_1=\frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R_1+d}+\frac{1}{r_0}-\frac{1}{R_1}\right) \approx \frac{Q_1}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_1^2}\right),\)

a másik töltésnél jó közelítéssel

\(\displaystyle \Phi_2= \frac{Q_2}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{r_0}-\frac{d}{R_2^2}\right),\)

a feszültség tehát kezdetben

\(\displaystyle U_\text{kezdeti} =\Phi_2-\Phi_1=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_2-Q_1}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_2}{R_2^2}-\frac{Q_1}{R_1^2}\right). \)

A töltéscsere utáni állapotban a feszültség

\(\displaystyle U_\text{végső} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1-Q_2}{r_0} -\frac{d}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{Q_1}{R_2^2}-\frac{Q_2}{R_1^2}\right). \)

Látjuk, hogy a feszültség a töltésátrendeződés közben nem marad állandó, de mivel a változás a töltés változásával arányos (lineáris), az átlagos feszültség a kezdeti és a végső feszültség számtani közepe:

\(\displaystyle U_\text{átlag}=\frac{U_\text{kezdeti}+U_\text{végső}}{2}= \frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1+Q_2\right)\,\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right).\)

(Vegyük észre, hogy az \(\displaystyle 1/r_0\)-lal arányos, pontszerű töltéseknél végtelenhez tartó tag kiesik az átlagfeszültségből.)

A szükséges (minimális) munka:

\(\displaystyle W=\Delta Q\cdot U_\text{átlag}=\frac{d}{8\pi\varepsilon_0}\left(Q_1^2-Q_2^2\right)\left(\frac{1}{R_1^2}-\frac{1}{R_2^2}\right) =\frac{d}{3\pi\varepsilon_0}\,\frac{Q^2}{R^2}.\)

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Elek Péter, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Sal Dávid, Sas 202 Mór.
4 pontot kapott:	Fekete András Albert, Mácsai Dániel, Szabó 314 László.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai