A P. 5118. feladat (2019. március)

P. 5118. Egy \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os hajlásszögű lejtőhöz két, egymástól \(\displaystyle \ell=10\) cm távolságra lévő, egymással párhuzamos, elhanyagolható ellenállású sín van rögzítve, melyeket az egyik végüknél állandó \(\displaystyle U_0\) feszültségű áramforrás kapcsol össze. A sínekre merőlegesen egy \(\displaystyle M=30\) g tömegű, \(\displaystyle R=0{,}2~\Omega\) ellenállású, vízszintes fémpálcát fektettünk, amely a síneken súrlódásmentesen mozoghat. A pálca közepéhez a sínekkel párhuzamos fonál csatlakozik, melynek elhanyagolható tömegű csigán átvetett függőleges darabjához egy \(\displaystyle m=50~\)g tömegű nehezék van erősítve. A berendezés függőlegesen lefelé mutató, \(\displaystyle B=0{,}5\) T indukciójú, homogén mágneses mezőben van.

Mekkora legyen az áramforrás feszültsége, hogy az \(\displaystyle m\) tömegű nehezék

\(\displaystyle a)\) függőlegesen felfelé,

\(\displaystyle b)\) függőlegesen lefelé \(\displaystyle v=10~\)m/s sebességgel egyenletesen haladjon?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) A rúd a lejtőn lefelé mozog \(\displaystyle v\) sebességgel, benne

\(\displaystyle U_\text{ind}=B\ell v\cos\alpha\)

feszültség indukálódik, ami a fémrúdban a külső áramforrással ellenkező irányban, tehát ,,balra'' irányuló,

\(\displaystyle I=\frac{U_0-U_\text{ind}}{R}=\frac{U_0-B\ell v\cos\alpha}{R}\)

nagyságú áramot hoz létre. Az áramjárta vezető rúdra a mágneses mező lejtőre merőleges \(\displaystyle B\cos\alpha\) nagyságú komponense a lejtő esésvonalával párhuzamos, ,,lefelé'' irányuló, \(\displaystyle F=BI\ell\cos\alpha\) nagyságú erőt fejt ki. A csigán átvetett fonalat \(\displaystyle mg\) nagyságú erő feszíti (hiszen az \(\displaystyle m\) tömegű test egyenletesen mozog), a rúd súlyának lejtő irányú komponense pedig \(\displaystyle Mg\sin\alpha\).

Az egyenletesen mozgó rúd mozgásegyenlete:

\(\displaystyle \frac{U_0-B\ell v\cos\alpha}{R}B\ell\cos\alpha+Mg\sin\alpha=mg,\)

ahonnan a keresett feszültség:

\(\displaystyle U_0=\frac{(m-M\sin\alpha)gR+vB^2\ell^2\cos^2\alpha}{B\ell\cos\alpha}=2{,}0~\rm V.\)

\(\displaystyle b)\) Ha az \(\displaystyle m\) tömegű nehezék lefelé mozog állandó \(\displaystyle v\) sebességgel, akkor a fenti végképletben \(\displaystyle v\) helyett \(\displaystyle -v\)-t kell írnunk, és a szükséges feszültség:

\(\displaystyle U_0=\frac{(m-M\sin\alpha)gR-vB^2\ell^2\cos^2\alpha}{B\ell\cos\alpha}=1{,}2~\rm V.\)

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Bukor Benedek, Czett Mátyás, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Kalmár Dóra, Lipták Gergő, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Sal Dávid, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Vass Bence.
4 pontot kapott:	Andorfi István, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Debreczeni Tibor, Endrész Balázs, Hamar Dávid, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Merkl Gergely, Olosz Adél, Szabó 314 László.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai