A P. 5132. feladat (2019. május)

P. 5132. Gépkocsival útnak indulunk. Az autópálya elejére érve a gépjármű sebességét és az indulástól számított átlagsebességét mérő készülék kijelzőjén 37 km/h látható. Ettől kezdve a legnagyobb megengedett sebességgel (130 km/h) haladunk.

\(\displaystyle a)\) Adjuk meg, hogyan változik az átlagsebesség az idő függvényében! Milyen körülmények befolyásolják ezt a függvényt?

\(\displaystyle b)\) Mennyi idő múlva fogjuk azt látni, hogy az – egész értékre kerekített – átlagsebességünk 130 km/h?

Közli: Härtlein Károly, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Ha (órákban mérve) \(\displaystyle t_0\) ideig haladtunk 37 km/h átlagsebességgel, akkor \(\displaystyle 37\,t_0\) km-nyi utat tettünk meg az autópálya elejéig. Innen folyamatosan 130 km/h sebességgel haladunk, akkor \(\displaystyle t\) idő múlva az indulástól számított átlagsebességünk

\(\displaystyle \overline{v}(t,t_0)=\frac {37\,t_0+130\,t}{t_0+t}~\frac{\rm km}{\rm h}\)

lesz. Ez a függvény érzékenyen függ a \(\displaystyle t_0\) időtartamtól, tehát attól, hogy mennyi ideig haladtunk a városban viszonylag lassan, vélhetően csúcsforgalomban. A függvény grafikonja egy hiperbola, amely \(\displaystyle t=0\)-nál a 37 km/h értéket, aszimptotikusan (\(\displaystyle t\rightarrow\infty\)-re) pedig 130 km/h-hoz tart.

A műszer által mutatott (kerekített) érték akkor éri el a 130-at, amikor \(\displaystyle \overline{v}=129{,}5\) km/h, ami \(\displaystyle t=185\,t_0\)-nál következik be. Ha például \(\displaystyle t_0=5~\text{perc}=\tfrac1{12}\) óra, akkor a műszer szerint 15,4 óra múlva ,,felejthetjük el'' a kezdeti késésünket. Ha viszont \(\displaystyle t_0=1\) óra, akkor \(\displaystyle t=185\) óra hosszan, vagyis majdnem 8 napon keresztül kellene folyamatosan a megengedett legnagyobb sebességgel haladnunk ahhoz, hogy az átlagsebességünk (kerekítve) 130 km/h legyen. Ezt – különböző okok miatt – nyilván nem tehetjük meg.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Jánosik Áron, Kalmár Dóra, Kardkovács Levente, Keltai Dóra, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Ludányi Levente, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Máth Benedek, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Pálfi Fanni, Sal Dávid, Selmi Bálint, Szoboszlai Szilveszter, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Hamar Dávid, Köpenczei Csanád, Merkl Gergely, Toronyi András.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai