A P. 5142. feladat (2019. május)

P. 5142. Egy $\displaystyle M$ tömegű űreszköz $\displaystyle r$ sugarú körpályán, állandó $\displaystyle v_0$ nagyságú sebességgel kering a Nap körül, mozgását csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja. Az űreszközt a Földről arra utasítják, hogy indítson útjára egy teljesen fekete, gömb alakú szondát, amelynek tömege $\displaystyle m$ , sugara $\displaystyle R$ , anyagának sűrűsége pedig $\displaystyle \varrho$ . A kibocsátás után a szonda ugyanazon a pályán kering a Nap körül, mint a kibocsátó. Tegyük fel, hogy anyaga jó hővezető, így a gömb hőmérséklete pályára állása után állandó, $\displaystyle T = 180$ K. A Nap sugárzását tekintsük egy $\displaystyle T_\odot = 5778$ K hőmérsékletű abszolút fekete test sugárzásának! A Nap tömege $\displaystyle M_\odot = 1{,}99\cdot 10^{30}$ kg, sugara $\displaystyle R_\odot = 6{,}96\cdot 10^8$ m, luminozitása (összes sugárzási teljesítménye) pedig $\displaystyle L_\odot = 3{,}83\cdot 10^{26}$ W.

$\displaystyle a)$ Határozzuk meg számszerűen az űreszköz és a szonda pályájának $\displaystyle r$ sugarát csillagászati egységben kifejezve! $\displaystyle 1~\mathrm{CSE} = 1{,}496\cdot 10^8$ km.

$\displaystyle b)$ Számítsuk ki a gömbre eső fotonok által a szondára kifejtett erő $\displaystyle F_\text{f}$ nagyságát! A választ $\displaystyle r$ , $\displaystyle R$ , $\displaystyle L_\odot$ és $\displaystyle c$ függvényében adjuk meg, ahol $\displaystyle c$ a fénysebesség vákuumban.

$\displaystyle c)$ Határozzuk meg a gömb $\displaystyle v'$ sebességének nagyságát, ha mozgását csak a Nap gravitációs hatása és a sugárnyomás befolyásolja! A választ az $\displaystyle r$ , $\displaystyle R$ , $\displaystyle L_\odot$ , $\displaystyle \varrho$ , $\displaystyle v_0$ és $\displaystyle c$ mennyiségekkel kifejezve adjuk meg!

Azért, hogy a szonda az $\displaystyle r$ sugarú körpályára kerülhessen, kicsit le kell lassítani. Ezt úgy érik el, hogy az űreszköz mozgásával ellentétes irányban, ahhoz képest $\displaystyle \Delta v$ nagyságú sebességgel indítják. Az űreszköz a saját mozgásának stabilitása érdekében legfeljebb $\displaystyle \Delta p_\text{max} = 1\; \mathrm{kg\;m\;s^{-1}}$ nagyságú impulzust adhat át a szondának.

$\displaystyle d)$ Számítsuk ki numerikusan a gömb sugarának legnagyobb ( $\displaystyle R_\text{max}$ ) értékét, amely mellett az űreszköz mozgása még stabil marad! Tegyük fel, hogy $\displaystyle m \ll M$ és $\displaystyle \Delta v = v_0 - v' \ll v_0$ ! (Felhasználhatjuk, hogy $\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2$ , ha $\displaystyle |x| \ll 1$ .) A hiányzó adatokra adjunk észszerű nagyságrendi becslést!

Nemzetközi Csillagászati és Asztrofizikai Diákolimpia
csehországi válogatóversenyének feladata

(6 pont)

A beküldési határidő 2019. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Az abszolút fekete test által a teljes hullámhossztartományban időegységenként és felületegységenként a felület normálisának irányában kisugárzott energia a Stefan–Boltzmann-törvény szerint a hőmérséklet negyedik hatványával arányos, azaz

$\displaystyle (1)$

$\displaystyle P_0 = \sigma T^4,$

ahol $\displaystyle \sigma = 5{,}67\cdot 10^{-8}~{\mathrm{W}\mathrm{m}^{-2}\mathrm{K}^{-4}}$ . Egységnyi idő alatt az $\displaystyle R_\odot$ sugarú, feketetest-sugárzónak tekintett Nap teljes felszínén, a felszínre merőleges irányban kiáramló energia:

$\displaystyle (2)$

$\displaystyle L_\odot = 4R_\odot^2 \pi P_\odot = 4R_\odot^2 \pi \sigma T_\odot^4.$

Ez az energia a Naptól $\displaystyle r$ távolságban egy $\displaystyle 4r^2 \pi$ felszínű gömbön oszlik el egyenletesen, így egységnyi idő alatt az $\displaystyle r$ sugarú gömb egységnyi felületén, a felületre merőlegesen áthaladó energia:

$\displaystyle (3)$

$\displaystyle p_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2}.$

Az elnyelt energia nagysága szempontjából nem számít, hogy a felület adott pontjában a sugárzás a felület normálisával mekkora szöget bezáró irányban érkezett, ezért a tökéletesen fekete, $\displaystyle R$ sugarú, gömb alakú szonda ebből a szempontból $\displaystyle R^2\pi$ nagyságú felületként (körlapként) tekinthető, így az általa másodpercenként elnyelt energia:

$\displaystyle (4)$

$\displaystyle a_0 = \sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi.$

A szonda azonban maga is bocsát ki sugárzást, mégpedig a teljes felületén. Tegyük fel, hogy a szonda is abszolút fekete testként sugároz, így a felületére merőleges irányban a szonda által másodpercenként kibocsátott teljes energia:

$\displaystyle (5)$

$\displaystyle e_0 = 4 R^2 \pi \sigma T^4.$

Mivel a szonda hőmérséklete állandó, az elnyelt és a kibocsátott energiának meg kell egyeznie:

$\displaystyle (6)$

$\displaystyle a_0 = e_0, \text{ azaz }\sigma T_\odot^4 \, \dfrac{R_\odot^2}{r^2} \, R^2 \pi = 4 R^2 \pi \sigma T^4,$

ebből pedig $\displaystyle r$ -re a következő kifejezést kapjuk:

$\displaystyle (7)$

$\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \, R_\odot \left ( \dfrac{T_\odot}{T} \right )^2.$

Számértékekkel:

$\displaystyle (8)$

$\displaystyle r = \dfrac{1}{2} \cdot {6.96\cdot 10^8}~{\mathrm{km}} \cdot \left ( \dfrac{{5778}~{\mathrm{K}}}{{180}{\mathrm{K}}} \right )^2 = {3{,}59\cdot 10^{11}}~{\mathrm{m}} \approx {2{,}4}~{\mathrm{CSE}}.$

A szonda tehát a Naptól $\displaystyle {2{,}4}{\mathrm{CSE}}$ távolságban kering.

$\displaystyle b)$ A Nap luminozitása $\displaystyle L_\odot = {3{,}83\cdot 10^{26}}~{\mathrm{W}}$ , azaz a Nap felszínén a teljes hullámhossztartományban másodpercenként $\displaystyle \Delta E = {3{,}83\cdot10^{26}}~{\mathrm{J}}$ energia távozik. Ez az energia a Naptól $\displaystyle r$ távolságban egy $\displaystyle 4r^2\pi$ felületű gömb felszínén oszlik el egyenletesen.

A gömb alakú, $\displaystyle R$ sugarú, tökéletesen fekete szonda a sugárzás által rá gyakorolt erőhatás szempontjából is úgy viselkedik, mint egy $\displaystyle R$ sugarú, azaz $\displaystyle R^2\pi$ felületű körlap, amelynek síkja merőleges a sugárzás irányára, így a szondára $\displaystyle \Delta t = {1}{\mathrm{s}}$ alatt eső energia:

$\displaystyle (9)$

$\displaystyle P = L_\odot \, \dfrac{R^2 \pi}{4r^2\pi} = \dfrac{L_\odot}{4} \, \dfrac{R^2}{r^2}.$

Mivel a szonda tökéletesen fekete, ezt az energiát teljes egészében elnyeli. Így a $\displaystyle \Delta t = {1}~{\mathrm{s}}$ alatt a sugárzással együtt elnyelt impulzus:

$\displaystyle (10)$

$\displaystyle \Delta p = \dfrac{P \Delta t}{c}.$

A szondára a sugárzás által gyakorolt erőhatás nagysága így:

$\displaystyle (11) \label{eq:F_r}$

$\displaystyle F_\text{r} = \dfrac{\Delta p}{\Delta t} = \dfrac{L_\odot}{4 c} \, \dfrac{R^2}{r^2}.$

$\displaystyle c)$ Az $\displaystyle m$ tömegű szondára a Nap gravitációs vonzása, illetve a sugárnyomásból származó, a gravitációs hatással éppen ellentétes irányú, kifelé mutató erő hat – a szonda által kibocsátott sugárzás a teljes felületen gömbszimmetrikusan távozik, ezért az ebből származó erő eredője nulla –, így a mozgásegyenlete:

$\displaystyle (12)$

$\displaystyle \dfrac{m v_\text{c}^{\prime 2}}{r} = F_\text{g} - F_\text{r} = G \, \dfrac{M_\odot m}{r^2} - \dfrac{L_\odot}{4c} \, \dfrac{R^2}{r^2} = \dfrac{m}{r} \left ( \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} \right ).$

Ebből fejezzük ki $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}$ -t:

$\displaystyle (13)$

$\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = \dfrac{GM_\odot}{r} - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr}.$

Az űreszköz mozgását a feladat szövege szerint csak a Nap gravitációs hatása befolyásolja, és mivel $\displaystyle m \ll M$ , tekinthetjük úgy, hogy a szonda kibocsátása után a tömege változatlan ( $\displaystyle M$ ), így a mozgásegyenlete:

$\displaystyle (14)$

$\displaystyle \dfrac{M v_\text{c}^2}{r} = G \, \dfrac{M_\odot M}{r^2}.$

Ebből fejezzük ki $\displaystyle v_\text{c}^2$ -t:

$\displaystyle (15)$

$\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r}.$

A $\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2}$ -re és a $\displaystyle v_\text{c}^2$ -re vonatkozó egyenletekből, felhasználva a gömb alakú szonda sugara, sűrűsége és tömege közti összefüggést is:

$\displaystyle (16)$

$\displaystyle v_\text{c}^{\prime 2} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4mcr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{L_\odot R^2}{4 \, \dfrac{4\pi}{3} \, \varrho R^3 cr} = v_\text{c}^2 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr} = v_\text{c}^2 \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ),$

azaz

$\displaystyle (17)$

$\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \label{eq:v_c_prime}.$

$\displaystyle d)$ Mivel $\displaystyle m \ll M$ , ezért a szonda kibocsátása során az űreszköz sebességének változása elhanyagolható. A szonda megengedett maximális impulzusváltozása:

$\displaystyle (18)$

$\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime).$

A (17) egyenlet gyökös kifejezésében szereplő ismert mennyiségek ( $\displaystyle L_\odot$ , $\displaystyle c$ , $\displaystyle r$ ) helyébe írjuk be azok értékeit, a nevezőben szereplő nem ismertekre pedig adjunk reális (alsó) becslést:

A szonda minden bizonnyal valamilyen fémötvözetből készült, így átlagos sűrűsége valószínűleg nagyobb a víz sűrűségénél: $\displaystyle \varrho \geq {10^3}~{\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-3}}$ .
Sugara valószínűleg nagyobb $\displaystyle {1}{\mathrm{cm}}$ -nél (ez a nemrégiben elhunyt Stephen Hawking által is támogatott Breakthrough Initiatives program $\displaystyle \alpha$ Centauri felé indítandó nanoszondái méretének nagyságrendje): $\displaystyle R \geq {0{,}01}{\mathrm{m}}$ .
A III. Kepler-törvény szerint a Naptól $\displaystyle {2.4}~{\mathrm{CSE}}$ távolságban a keringési idő mintegy $\displaystyle {3{,}7}~{\text{év}}$ , ez pedig $\displaystyle v \approx {19}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}$ keringési sebességnek felel meg: $\displaystyle v_\text{c} \approx {1{,}9}\cdot 10^4~{\mathrm{m}\,\mathrm{s}^{-1}}$ .

A fenti értékekkel kiszámolhatjuk, hogy

$\displaystyle (19)$

$\displaystyle \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \approx 6\cdot 10^{-5},$

tehát a gyökös kifejezés helyett használhatjuk a feladat szövegében megadott $\displaystyle \sqrt{1 - x} \approx 1 - x/2$ , ha $\displaystyle |x| \ll 1$ közelítést:

$\displaystyle (20)$

$\displaystyle v_\text{c}^\prime = v_\text{c} \sqrt{1 - \dfrac{3L_\odot}{16 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2}} \approx v_\text{c} \left ( 1 - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}^2} \right ) = v_\text{c} - \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}} \rightarrow$

$\displaystyle (21)$

$\displaystyle v_\text{c} - v_\text{c}^\prime = \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho Rr v_\text{c}}.$

Ezt írjuk be az impulzusváltozás kifejezésébe:

$\displaystyle (22)$

$\displaystyle \Delta p_\text{m} = m (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho (v_\text{c} - v_\text{c}^\prime) = \dfrac{4\pi}{3} \, R_\text{m}^3 \varrho \, \dfrac{3L_\odot}{32 \pi c \varrho R_\text{m} r v_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}}.$

Mivel

$\displaystyle (23)$

$\displaystyle v_\text{c}^2 = \dfrac{GM_\odot}{r} \rightarrow v_\text{c} = \sqrt{\dfrac{GM_\odot}{r}} \rightarrow r v_\text{c} = \sqrt{GM_\odot r},$

ezért

$\displaystyle (24)$

$\displaystyle \Delta p_\text{m} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8crv_\text{c}} = R_\text{m}^2 \, \dfrac{L_\odot}{8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}.$

Ebből

$\displaystyle (25)$

$\displaystyle R_\text{m}^2 = \dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot} \rightarrow R_\text{m} = \sqrt{\dfrac{\Delta p_\text{m} 8c \sqrt{\mathstrut GM_\odot r}}{L_\odot}} \label{eq:R_m}.$

A számértékeket behelyettesítve:

$\displaystyle (26)$

$\displaystyle R_\text{m} = {0{,}21}~{\mathrm{m}} = {21}~{\mathrm{cm}}.$

A gömb alakú szonda sugara tehát legfeljebb $\displaystyle {21}\,{\mathrm{cm}}$ lehet.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.

6 pontot kapott: Bokor Endre, Elek Péter, Kozák 023 Áron, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Tiefenbeck Flórián.

5 pontot kapott: Ludányi Levente.

4 pontot kapott: 1 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2019. májusi fizika feladatai

12 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bokor Endre, Elek Péter, Kozák 023 Áron, Makovsky Mihály, Marozsák Tádé, Olosz Adél, Tiefenbeck Flórián.
5 pontot kapott:	Ludányi Levente.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?