A P. 5149. feladat (2019. szeptember)

P. 5149. Egy fizikatanár röpdolgozatot írat két csoportban. Az egyik csoport feladata a következő: ,,Mekkora beesési szögű az a vékony fénysugár, ami gömb alakú vízcseppbe lépve szabályos háromszög mentén jár körbe?'' A másik csoport ugyanezt a feladatot kapja, de ekkor szabályos négyszög, vagyis egy négyzet oldalélei mentén kell haladnia a fénysugárnak. Feladhatja-e a tanár ugyanezt a példát a pótdolgozatban szabályos ötszöggel? Határozzuk meg a beesési szögeket az egyes esetekben! (A víz törésmutatója \(\displaystyle \frac43\).)

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Tételezzük fel, hogy a fénysugár a vízcseppben szabályos \(\displaystyle N\)-szög mentén halad körbe. (Természetesen minden visszaverődési pontnál a fény egy része megtörve kilép a vízcseppből.) Az ábrán látható jelölésekkel a törési törvény szerint

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{4}{3}\sin\beta.\)

Másrészt igaz, hogy \(\displaystyle \beta=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{N},\) tehát a törési törvény így írható:

\(\displaystyle \sin\alpha=\frac{4}{3}\cos\frac{180^\circ}{N}.\)

Nyilván teljesül, hogy

\(\displaystyle \sin\alpha\le 1, \qquad \text{azaz} \qquad \cos\frac{180^\circ}{N}\le \frac{3}{4}, \qquad \text{vagyis} \qquad \frac{180^\circ}{N}\ge 41{,}4^\circ,\quad N\le 4{,}3.\)

Ezek szerint a 2-nél nagyobb egészek közül csak \(\displaystyle N=3\) és \(\displaystyle N=4\)-re adható fel a feladat, és ezeknél a megfelelő beesési szögek: \(\displaystyle \alpha_3=41{,}8^\circ\) és \(\displaystyle \alpha_4=70{,}5^\circ\).

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bagu Bálint, Balogh Dávid, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Csécsi Marcell, Dékány Csaba, Endrész Balázs, Fekete Levente, Fiam Regina, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kozaróczy Csaba, Ludányi Levente, Nagyváradi Dániel, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Rácz Tamás Gáspár, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Surányi Balázs, Szabados Noémi, Szász Levente, Szikora 417 Viktor, Takács Árpád, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Vass Bence.
3 pontot kapott:	Juhász Katalin, Kozák 023 Áron, Laposa Hédi, Pálfi Fanni.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2019. szeptemberi fizika feladatai