Problem P. 5154. (October 2019)

P. 5154. A boy is riding his bicycle in a cinema scene. When the boy rides his bicycle slowly, the wheels seem to rotate in a direction which is in accordance with the motion of the bicycle. When the boy speeds up, suddenly the wheels seem to turn in the opposite direction. When the speed of the bicycle is further increased, the apparent rotation of the wheels slows down gradually (but they still rotate in the ``wrong'' direction), and at some particular speed of \(\displaystyle v\) the wheels seem to stop rotating. What is the value of \(\displaystyle v\) if the perimeter of the wheels is 2.5 m, each wheel has 36 spikes, and the film has 24 frames in a second?

(4 pont)

Deadline expired on November 11, 2019.

Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation

Megoldás. Az egyszerűség kedvéért tekintsük úgy, mintha a küllők mindegyike sugár irányú lenne, és egyenletesen elosztva követnék egymást. Ebben a közelítésben a kerékabroncsnál a küllők végződései \(\displaystyle \tfrac1{36}\, \cdot {2{,}5~\rm m} \approx 7~\rm cm\) távol vannak egymástól. (A valóságban a küllők állása kicsit eltér ettől.)

A szemünk a kerékpár azon helyzeteit látja, amelyek \(\displaystyle \tfrac1{24}\) másodpercenként követik egymást. A hiányzó képeket az agyunk ,,pótolja'', egészíti ki a látottakat folytonos mozgássá. Ha a kerékpár \(\displaystyle \tfrac1{24}\) másodperc alatt több mint 3,5 cm-t tesz meg, akkor úgy érzékeljük, mintha a következő küllő fordult volna el ,,visszafelé'' valamekkora szöggel, tehát mintha a kerekek ellenkező irányban forognának. (A küllőket a látottak alapján nem tudjuk egymástól megkülönböztetni, az agyunk pedig úgy pótolja a ,,hiányzó képeket'', hogy az előző képhez legközelebbi helyzeteket köti össze folytonos mozgásérzékké.) A sebesség növekedtével egyre közelebb kerül a következő küllő képe az előző filmkockán látható küllőhöz, a kerekeket tehát egyre lassabban forgónak érzékeljük.

Ha a kerékpár \(\displaystyle \tfrac1{24}\) másodperc alatt éppen 7 cm-t tesz meg, tehát a sebessége \(\displaystyle v=1{,}7~{\rm m/s}\approx 6~{\rm km/h}\), az egymás utáni filmkockákon a küllők helyzete a kerékpárhoz viszonyítva mindig ugyanoda esik, tehát a kerék forgása látszólag megáll.

Statistics:

78 students sent a solution.
4 points:	65 students.
3 points:	3 students.
2 points:	6 students.
1 point:	3 students.
0 point:	1 student.

Problems in Physics of KöMaL, October 2019