 |
A P. 5160. feladat (2019. október) |
P. 5160. Rögzített szigetelőállvány tetejére erősített kicsiny, \(\displaystyle d=2\) cm átmérőjű fémgömb töltése \(\displaystyle Q=8\cdot 10^{-9}\) C. Vékony, \(\displaystyle \ell=1\) m hosszú, az ábra szerint felfüggesztett szigetelőszál végére erősített ugyanakkora semleges fémgömb tömege \(\displaystyle m=1\) g. A fonalat \(\displaystyle \alpha=60^\circ\)-ig kitérítjük, majd elengedjük. A két gömb centrálisan, abszolút rugalmasan ütközik. Az ütközés során az elektromos mező energiája nem változik, energiadisszipáció nincsen.
A kiindulási helyzeténél mennyivel kerül magasabbra a fonálinga kis gömbje, ha a légellenállás is elhanyagolható?
(Lásd még a kapacitásokról szóló cikket lapunk 425. oldalán.)
Közli: Holics László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy \(\displaystyle R\) sugarú, önmagában álló fémgömb kapacitása \(\displaystyle C=4\pi\varepsilon_0 R\). Ha ennek a gömbnek \(\displaystyle Q\) töltése van, akkor az elektrosztatikus terének energiája
\(\displaystyle W=\frac{Q^2}{2C}=\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0R}. \)
Ha olyan két töltött fémgömb esetét vizsgáljuk, amelyek az átmérőjükhöz viszonyítva elég távol vannak egymástól, akkor az egymáshoz viszonyított kapacitása (,,főkapacitása'') elhanyagolhatóan kicsi a szórt kapacitásukhoz képest, és ebben a közelítésben a rendszer elektrosztatikus energiája (lásd az idézett cikket!)
\(\displaystyle W=\frac{Q_1^2}{8\pi\varepsilon_0R_1}+\frac{Q_2^2}{8\pi\varepsilon_0R_2},\)
ahol \(\displaystyle R_1=R_2=d/2\).
Esetünkben a kezdőállapotban \(\displaystyle Q_1=0\) és \(\displaystyle Q_2=Q\), az ütközés után pedig (a szimmetria és a töltésmegmaradás miatt) \(\displaystyle Q_1=Q_2=\tfrac12Q\). Az ütközés után, amikor már ismét elég messze került a két gömb egymástól, a kapacitásuk megint elhanyagolhatóan kicsivé válik, és az energiájuk a szórt kapacitásukból számolható ki. (Közvetlenül az ütközés előtt és után az elektromos megosztás igen erős, emiatt az energia ezekben az állapotokban csak igen bonyolult módon számítható; erre azonban – szerencsére – nincs szükségünk.)
A rendszer elektrosztatikus energiájának megváltozása a fonálinga indítása és ismételt megállása között
\(\displaystyle \Delta W=\frac{\left(\frac{1}{2}Q\right)^2}{4\pi\varepsilon_0 d}+\frac{\left(\frac{1}{2}Q\right)^2}{4\pi\varepsilon_0 d} - \frac{Q^2}{4\pi\varepsilon_0 d}=-\frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0 d}<0.\)
A rendszer összes (elektrosztatikus+gravitációs helyzeti) energiája a folyamat során nem változik (a mozgási energia mind a kezdeti, mind pedig a végállapotban nulla), így a fonálinga kis gömbje a kiindulási helyzetéhez viszonyítva
\(\displaystyle \Delta h=\frac{\vert\Delta W\vert}{mg}= \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0mg d}=1{,}5~\rm mm \)
távolsággal kerül magasabbra. (Az eredmény nem függ az inga \(\displaystyle \ell\) hosszától.)
Megjegyzés. A megoldás során kihasználtuk, hogy a gömbök érintkezésekor, amikor a töltés fele átáramlik a másik gömbre, nincs energiaveszteség, mert a megosztás miatt a két gömb összeütközésekor már nullára csökkent közöttük a feszültség.
Más a helyzet akkor, amikor egy töltött és egy töltetlen síkkondenzátort kapcsolunk páruzamosan (lemezeiket páronként összeérintjük). Ekkor a kondenzátorok összenergiája lecsökken, az energiaváltozás a hirtelen kisüléskor keletkező szikrázás energiáját, a vezetékekben fejlődő Joule-hőt és elektromágneses sugárzás által elvitt energiát fedezi.
Ha a kondenzátorokat ,,kiméletesen'' érintjük össze, olymódon, hogy előbb a lemezeiket majdnem teljesen összetoljuk (de nem érintjük össze), annyira, hogy a feszültségük szinte nullára csökkenjen, majd a töltésátáramlás után ismét széthúzzuk a lemezeket az eredeti távolságukig. Az elektrosztatikus energia most is lecsökken, de az energiaváltozás éppen megegyezik a lemezek mozgatása közben végzett mechanikai munkával. Ez az eset felel meg a feladatban szereplő két fémgömb összeütközésének, de a gömbkondenzátorokhoz képest azzal az előnnyel rendelkezik, hogy egyszerű módon részletesen végigszámolható.
Statisztika:
17 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bokor Endre, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Takács Dóra, Viczián Anna. 3 pontot kapott: 12 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai