A P. 5161. feladat (2019. október)

P. 5161. Homogén, $\displaystyle \boldsymbol B$ indukcióvektorú, erős mágneses térbe $\displaystyle R$ sugarú, igen hosszú, töltetlen fémhengert helyezünk. A henger tengelyét az indukcióvektorral párhuzamosan rögzítjük, majd akörül $\displaystyle \omega$ szögsebességgel forgatni kezdjük. Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a henger palástján?

Közli: Németh Róbert, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A forgó fémhengerben a $\displaystyle Q=-e<0$ töltésű elektronokra ($\displaystyle e$ az elemi töltés) a mágneses tér erőt fejt ki. Ennek iránya a forgástengely felé mutat, vagy azzal ellentétesen, nagysága a forgástengelytől $\displaystyle r$ távolságban

$\displaystyle F_\text{mágneses}= QB\omega\,r.$

Az erő iránya a forgás szögsebességvektorának és a mágneses indukcióvektornak egymáshoz viszonyított állásától függ. Tekintsük pl. azt az esetet, amikor $\displaystyle \boldsymbol B$ és $\displaystyle \boldsymbol \omega$ azonos irányúak, és a sugár irányban ,,kifelé'' mutató vektorok sugár irányú komponensét tekintjük pozitívnak, a ,,befelé'' mutatókét pedig negatívnak. Ekkor a negatív töltésű elektronokra a mágneses tér $\displaystyle Q B\omega\,r=-eB\omega r$ nagyságú, tehát ,,befele'' mutató erővel hat.

A fémben az elektronok szabadon el tudnak mozdulni, a kristályrács nem fejt ki rájuk erőt. El is mozdulnak, és a megbomlott töltésegyensúly hatására kialakul egy sugár irányú elektromos mező, ami az elektronokra

$\displaystyle F_\text{elektromos}= QE(r)=-eE(r)$

erőt fejt ki. Állandósult (stacionárius) állapotban az $\displaystyle m$ tömegű elektronok körpályán, egyenletes forgómozgással mozognak, így rájuk az

$\displaystyle F_\text{mágneses}+F_\text{elektromos}=-mr\omega^2$

mozgásegyenlet érvényes. Ebből leolvashatjuk, hogy az elektromos tér nagysága

$\displaystyle E(r)= \left(\frac{m}{e}\omega^2- B\omega\right)\cdot r\equiv K\cdot r.$

Mivel elektronra az $\displaystyle m/e$ hányados SI-egységekben mérve nagyon kicsi szám ($\displaystyle 10^{-12}$ nagyságrendű), a $\displaystyle K$ állandóban szereplő első tagot (extrém nagy, gyakorlatilag megvalósíthatatlan szögsebességeket leszámítva) nyugodtan elhanyagolhatjuk, vagyis a $\displaystyle K= -B\omega$ értékkel számolhatunk.

Tekintsük most a forgó fémhenger belsejében egy $\displaystyle r$ belső sugarú, $\displaystyle r+\Delta r$ külső sugarú, $\displaystyle \ell$ hosszúságú, vékony falú csövet ($\displaystyle \Delta r\ll r$). Ebből csőből a belső oldalán

$\displaystyle \vert E(r)\vert \,2\pi r \ell=2\pi \ell B\omega\,r^2$

nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép ki, a külső oldalán pedig

$\displaystyle \vert E(r+\Delta r)\vert \,2\pi(r+\Delta r) \ell=2\pi \ell B\omega\,(r+\Delta r)^2 \approx 2\pi \ell B\omega\,r^2+ 4\pi \ell B\omega\,r\, \Delta r$

nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép be a csőbe.

A Gauss-féle fluxustörvény szerint az elektromos mező eredő (előjeles összegzéssel kapható) fluxusa a csőben lévő töltéssel arányos:

$\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_0}\,Q_\text{cső}=-\frac{4\pi}{\varepsilon_0}\,\ell B\omega\,r\, \Delta r.$

Ha ezt a töltést (ami a szimmetria miatt egyenletesen oszlik el a csőben) elosztjuk a cső $\displaystyle 2r\pi\ell\,\Delta r$ térfogatával, megkapjuk a töltéssűrűséget:

$\displaystyle \varrho=-2\varepsilon_0 B\omega<0.$

Amint az várható volt, a negatív elektronokat a forgástengely irányába húzó mágneses Lorentz-erő a henger felületéről ,,szív el'' töltéseket, a henger belseje tehát negatív töltéssűrűségre töltődik fel (méghozzá egyenletesen), a henger felülete pedig pozitív töltésűvé válik. A felületi töltéssűrűséget a henger belsejének összes (de ellentétes előjellel vett) töltésének és a hengerpalást területének hányadosaként kapjuk meg:

$\displaystyle \sigma=-\frac{R^2\pi \ell \varrho}{2R\pi\ell}=\varepsilon_0 BR\omega.$

A felületi töltéssűrűséget másképp is kiszámíthatjuk. Az egész henger semleges, így rajta kívül at elektromos térerősség nulla. A henger belsejében, közvetlenül a hengerpalást alatt $\displaystyle E=-B\omega R$, vagyis felületegységenként $\displaystyle B\omega R$ elővonal indul ki a hengerpalástból. A felületegységre jutó töltés (Gauss törvénye szerint): $\displaystyle \sigma=\vert \boldsymbol E\vert \varepsilon_0=\varepsilon_0 BR\omega$.

Ha a hengert ellenkező irányban forgatjuk (vagy $\displaystyle \boldsymbol B$ irányát változtatjuk meg), akkor a negatív elektronok kifelé mozognak, a felületi töltéssűrűség negatív, a henger belsejének térfogati töltéssűrűsége pedig pozitív lesz.

Statisztika:

12 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Fonyi Máté Sándor, Kozák 023 Áron.
4 pontot kapott:	Fiam Regina, Tóth Ábel.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai