 |
A P. 5161. feladat (2019. október) |
P. 5161. Homogén, \(\displaystyle \boldsymbol B\) indukcióvektorú, erős mágneses térbe \(\displaystyle R\) sugarú, igen hosszú, töltetlen fémhengert helyezünk. A henger tengelyét az indukcióvektorral párhuzamosan rögzítjük, majd akörül \(\displaystyle \omega\) szögsebességgel forgatni kezdjük. Mekkora felületi töltéssűrűség alakul ki a henger palástján?
Közli: Németh Róbert, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.
Megoldás. A forgó fémhengerben a \(\displaystyle Q=-e<0\) töltésű elektronokra (\(\displaystyle e\) az elemi töltés) a mágneses tér erőt fejt ki. Ennek iránya a forgástengely felé mutat, vagy azzal ellentétesen, nagysága a forgástengelytől \(\displaystyle r\) távolságban
\(\displaystyle F_\text{mágneses}= QB\omega\,r.\)
Az erő iránya a forgás szögsebességvektorának és a mágneses indukcióvektornak egymáshoz viszonyított állásától függ. Tekintsük pl. azt az esetet, amikor \(\displaystyle \boldsymbol B\) és \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) azonos irányúak, és a sugár irányban ,,kifelé'' mutató vektorok sugár irányú komponensét tekintjük pozitívnak, a ,,befelé'' mutatókét pedig negatívnak. Ekkor a negatív töltésű elektronokra a mágneses tér \(\displaystyle Q B\omega\,r=-eB\omega r\) nagyságú, tehát ,,befele'' mutató erővel hat.
A fémben az elektronok szabadon el tudnak mozdulni, a kristályrács nem fejt ki rájuk erőt. El is mozdulnak, és a megbomlott töltésegyensúly hatására kialakul egy sugár irányú elektromos mező, ami az elektronokra
\(\displaystyle F_\text{elektromos}= QE(r)=-eE(r) \)
erőt fejt ki. Állandósult (stacionárius) állapotban az \(\displaystyle m\) tömegű elektronok körpályán, egyenletes forgómozgással mozognak, így rájuk az
\(\displaystyle F_\text{mágneses}+F_\text{elektromos}=-mr\omega^2\)
mozgásegyenlet érvényes. Ebből leolvashatjuk, hogy az elektromos tér nagysága
\(\displaystyle E(r)= \left(\frac{m}{e}\omega^2- B\omega\right)\cdot r\equiv K\cdot r.\)
Mivel elektronra az \(\displaystyle m/e\) hányados SI-egységekben mérve nagyon kicsi szám (\(\displaystyle 10^{-12}\) nagyságrendű), a \(\displaystyle K\) állandóban szereplő első tagot (extrém nagy, gyakorlatilag megvalósíthatatlan szögsebességeket leszámítva) nyugodtan elhanyagolhatjuk, vagyis a \(\displaystyle K= -B\omega\) értékkel számolhatunk.
Tekintsük most a forgó fémhenger belsejében egy \(\displaystyle r\) belső sugarú, \(\displaystyle r+\Delta r\) külső sugarú, \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, vékony falú csövet (\(\displaystyle \Delta r\ll r\)). Ebből csőből a belső oldalán
\(\displaystyle \vert E(r)\vert \,2\pi r \ell=2\pi \ell B\omega\,r^2\)
nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép ki, a külső oldalán pedig
\(\displaystyle \vert E(r+\Delta r)\vert \,2\pi(r+\Delta r) \ell=2\pi \ell B\omega\,(r+\Delta r)^2 \approx 2\pi \ell B\omega\,r^2+ 4\pi \ell B\omega\,r\, \Delta r\)
nagyságú elektromos fluxus (elektromos erővonal) lép be a csőbe.
A Gauss-féle fluxustörvény szerint az elektromos mező eredő (előjeles összegzéssel kapható) fluxusa a csőben lévő töltéssel arányos:
\(\displaystyle \frac{1}{\varepsilon_0}\,Q_\text{cső}=-\frac{4\pi}{\varepsilon_0}\,\ell B\omega\,r\, \Delta r.\)
Ha ezt a töltést (ami a szimmetria miatt egyenletesen oszlik el a csőben) elosztjuk a cső \(\displaystyle 2r\pi\ell\,\Delta r\) térfogatával, megkapjuk a töltéssűrűséget:
\(\displaystyle \varrho=-2\varepsilon_0 B\omega<0.\)
Amint az várható volt, a negatív elektronokat a forgástengely irányába húzó mágneses Lorentz-erő a henger felületéről ,,szív el'' töltéseket, a henger belseje tehát negatív töltéssűrűségre töltődik fel (méghozzá egyenletesen), a henger felülete pedig pozitív töltésűvé válik. A felületi töltéssűrűséget a henger belsejének összes (de ellentétes előjellel vett) töltésének és a hengerpalást területének hányadosaként kapjuk meg:
\(\displaystyle \sigma=-\frac{R^2\pi \ell \varrho}{2R\pi\ell}=\varepsilon_0 BR\omega.\)
A felületi töltéssűrűséget másképp is kiszámíthatjuk. Az egész henger semleges, így rajta kívül at elektromos térerősség nulla. A henger belsejében, közvetlenül a hengerpalást alatt \(\displaystyle E=-B\omega R\), vagyis felületegységenként \(\displaystyle B\omega R\) elővonal indul ki a hengerpalástból. A felületegységre jutó töltés (Gauss törvénye szerint): \(\displaystyle \sigma=\vert \boldsymbol E\vert \varepsilon_0=\varepsilon_0 BR\omega\).
Ha a hengert ellenkező irányban forgatjuk (vagy \(\displaystyle \boldsymbol B\) irányát változtatjuk meg), akkor a negatív elektronok kifelé mozognak, a felületi töltéssűrűség negatív, a henger belsejének térfogati töltéssűrűsége pedig pozitív lesz.
Statisztika:
12 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bokor Endre, Fonyi Máté Sándor, Kozák 023 Áron. 4 pontot kapott: Fiam Regina, Tóth Ábel. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai