A P. 5162. feladat (2019. október)

P. 5162. Egy szabályos háromszög alapú egyenes hasáb oldallapjai síktükrök. A hasáb a vízszintes alaplapjának súlypontján átmenő, függőleges tengely körül $\displaystyle T$ periódusidővel egyenletes forgómozgást végez. Az egyik oldallapjára vízszintes irányú, a forgástengely felé haladó lézersugár érkezik. A $\displaystyle t=0$ pillanatban a lézersugár merőleges az egyik tükörre. Adjuk meg és ábrázoljuk a visszavert sugárnak a beeső sugárral bezárt szögét az idő függvényében a $\displaystyle 0\le t\le T$ időtartamban!

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a hasáb radiánban mért elfordulási szögét $\displaystyle \varphi$-vel, a lézersugár eltérülési szögét pedig $\displaystyle \delta$-val. (A megadott időintervallumban le $\displaystyle 0\le\varphi\le 2\pi$, továbbá $\displaystyle \varphi=2\pi t/T$. A $\displaystyle \delta$ szöget nem a szokásos 0 és $\displaystyle 2\pi$ közötti, hanem $\displaystyle -\pi$ és $\displaystyle +\pi$ közé eső értékekkel fogjuk megadni.

A $\displaystyle t = 0$ pillanatban – a feladat szövege szerint – $\displaystyle \varphi=0$, és nyilván $\displaystyle \delta=0$. A tükrözési törvény szerint a $\displaystyle \varphi$ szög növekedtével egy darabig $\displaystyle \delta=2\varphi$, de ez csak addig igaz, amíg a lézersugár a hasáb oldalélére nem esik. Ez $\displaystyle \varphi=\tfrac{1}{3}\pi=60^\circ$-nál, $\displaystyle t =T/6$ idő elteltével következik be. Ekkor a lézerfény hirtelen egy másik síktükörre esik, az eltérülés szöge $\displaystyle +\tfrac43\pi$-ről $\displaystyle -\tfrac43\pi$-re vált át. Ezután $\displaystyle \varphi$ növekedtével $\displaystyle \delta$ kétszeres ütemben növekszik, és ez egészen $\displaystyle \varphi=\pi$-ig tart (ekkor ér a lézerfény útjába a hasáb következő oldaléle), és ez ismétlődik a továbbiakban is. Az eltérülési szög és az elfordulás szöge, valamint az eltelt idő közötti kapcsolatot az alábbi grafikon mutatja:

A szakadási pontokban $\displaystyle \delta$-nak nincs határozott értéke, mert ilyenkor a fénysugár nem síktükörre, hanem egy vékony élre esik, ami nem határozott irányba tükrözi a fényt, hanem szanaszét szórja azt.

Statisztika:

22 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Kardkovács Levente, Kozák 023 Áron, Nguyễn Đức Anh Quân, Schäffer Bálint, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Fülöp Sámuel Sihombing, Juhász Katalin, Ludányi Levente, Török 517 Mihály.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. októberi fizika feladatai