 |
A P. 5170. feladat (2019. november) |
P. 5170. Dörzsöléssel feltöltött, egyforma szívószálak vízszintes síkban, egymással párhuzamosan úgy helyezkednek el, hogy a végeiket összekötő egyenesek merőlegesek a szívószálakra. Feltételezhetjük, hogy a töltések eloszlása a szálakon egyenletes, és mindegyik szívószálnak ugyanakkora a töltése. A két szélső szál rögzített, egymástól való távolságuk jóval kisebb, mint egy szívószál hossza. Közöttük még néhány olyan szívószál helyezkedik el, amelyek szabadon elmozdulhatnak. Hogyan helyezkednek el ezek a szabadon mozgó szálak, ha számuk
\(\displaystyle a)\) kettő;
\(\displaystyle b)\) három?
Közli: Márki-Zay János, Hódmezővásárhely
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az egyenletesen feltöltött, hosszú szigetelő szálak mindegyikének elektromos terében a térerősség (a végek közelét leszámítva) merőleges a szálra és a nagysága a szálaktól mért távolsággal fordítottan arányos. (Ezt pl. a Gauss-törvény alkalmazásával láthatjuk be. Feltételezzük, hogy a vízszintes alátámasztás nem befolyásolja a kialakuló erőteret.) Mivel a szálak töltése ugyanakkora, egy-egy pár közötti taszítóerő is a távolságukkal fordítottan arányos, és az arányossági tényező mindegyik párra ugyanakkora.
\(\displaystyle a)\) Legyen a két szélső, rögzített szál távolsága \(\displaystyle d\), egy-egy ,,belső szál'' távolsága a hozzá közelebbi rögzített száltól pedig \(\displaystyle xd\). Az elrendezés szimmetriája miatt \(\displaystyle x\) mindkét szálra ugyanakkora (1. ábra). Az egyensúlyi állapotban egy-egy belső szálra ható erők eredője nulla, vagyis fennáll:
\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)
1. ábra
Innen – algebrai átalakítások után – következik, hogy
\(\displaystyle 5x^2-5x+1=0,\)
aminek (0,5-nél kisebb) megoldása:
\(\displaystyle x_1=\frac{1}{2}-\frac{1}{\sqrt{20}}\approx 0{,}28. \)
A szívószálak tehát kb. 28% : 44% : 28% arányban osztják fel a két szélső szál közötti távolságot.
\(\displaystyle b)\) Hasonló módon járhatunk el a három szabadon mozgó szívószál esetében is. (Ezek is szimmetrikusan fognak elhelyezkedni, ahogy azt a 2. ábra mutatja.)
2. ábra
A megoldandó egyenlet most
\(\displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{1-2x}-\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}=0.\)
Innen
\(\displaystyle x=\frac{7-\sqrt{21}} {14}\approx 0{,}173\)
következik. A szálak közötti távolságok aránya tehát kb. 17% : 33% : 33% : 17%.
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Békési Ábel, Takács Árpád, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Sas 202 Mór, Szabó 314 László, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai