A P. 5172. feladat (2019. november)

P. 5172. Fényes evőkanalat tartunk 25 cm-re a szemünktől úgy, hogy a kanál szára függőleges. A kanál homorú felét nézve a fejünk fordított állású képét látjuk, míg a domború felét nézve a kép egyenes állású. Melyik képen látjuk a fejünk magasságát (függőleges méretét) nagyobbnak, és ez a kép hányszor nagyobb látószögben látszik a másiknál? A kanál függőleges metszetének görbületi sugara 5 cm.

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A tárgytávolság \(\displaystyle t=25~\)cm, a gömbtükörnek tekinthető kanál fókusztávolsága \(\displaystyle f=\pm \frac{R}{2}=\pm 2{,}5~\rm cm.\) A leképezési törvény szerint a képtávolság:

\(\displaystyle k=\left(\frac{1}{f}-\frac{1}{t}\right)^{-1}= \frac{tf}{t-f}, \)

a nagyítás pedig

\(\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{f}{t-f}.\)

A kanál homorú oldalát nézve \(\displaystyle f_1=+2{,}5\) cm, és ennek megfelelően

\(\displaystyle N_1=\frac{1}{9}, \qquad k_1=\frac{25}{9}~{\rm cm}\approx 2{,}78~{\rm cm}.\)

A keletkező kép valódi, fordított állású, nagysága \(\displaystyle K_1=N_1\,T \) (\(\displaystyle T\) a fejünk függőleges mérete), és a szemünktől

\(\displaystyle d_1=t-k_1=22{,}22~{\rm cm}\)

távol jön létre. A kép látószöge \(\displaystyle \varphi_1=\frac{ N_1 \,T}{d_1}.\)

A kanál domború oldalát nézve \(\displaystyle f_1=-2{,}5\) cm, és ennek megfelelően

\(\displaystyle N_2=-\frac{1}{11}, \qquad k_2=-\frac{25}{11}~{\rm cm}\approx -2{,}27~{\rm cm}.\)

A keletkező kép látszólagos, egyenes állású, és a szemünktől \(\displaystyle d_2=t-k_2=t+\vert k_2\vert=27{,}27~{\rm cm}\) távol ,,keletkezik''. A kép látószöge \(\displaystyle \varphi_2=\frac{\vert N_2\vert\,T}{d_2}.\)

A két eset adatait összevetve leolvashatjuk, hogy a kanál homorú oldalára nézve látunk nagyobb (nagyobb látószögű) képet, és a szögnagyítások aránya:

\(\displaystyle \frac{\varphi_1}{\varphi_2}=\left\vert\frac{N_1}{N_2}\right\vert\frac{d_2}{d_1}=1{,}5. \)

A kanál homorú oldalát nézve másfélszer nagyobbnak látjuk a fejünket, mint a domború oldalán.

Megjegyzés. Egy tárgy képének látszólagos méretét nem a kép tényleges nagysága, hanem a kép látószöge határozza meg. Azonos látószög esetén a szemünk retináján ugyanakkora méretű kép jön létre, tehát ,,ugyanakkorának látszik''. A lemenő Nap és a Hold például látszólag ugyanakkora, pedig a tényleges méretük sok nagyságrendben különbözik. Egy magas toronyból letekintve a torony melletti térre, az emberek és az autók akkorának látszanak, mint egy hangya. Nem túl messzi tárgyakat két szemmel nézve azokat térben látjuk, és az agyunk a távolságra vonatkozó információ alapján korrigálja a méretükre vonatkozó érzetet.

Statisztika:

11 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ludányi Levente, Tanner Norman.
3 pontot kapott:	Endrész Balázs, Györgyfalvai Fanni, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Kozaróczy Csaba, Nemeskéri Dániel.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. novemberi fizika feladatai