A P. 5187. feladat (2020. január)

P. 5187. Egy $\displaystyle \ell_1=25~$cm és egy $\displaystyle \ell_2=1{,}2$ m hosszú fonálingát azonos magasságban rögzítünk. A lengések síkja párhuzamos, és egymáshoz elég közel van. Az ingákat az egyensúlyi helyzetből azonos nagyságú, kis szöggel, ellentétes irányban kitérítjük, majd elengedjük.

$\displaystyle a)$ Az induláshoz képest mennyi idő múlva halad el egymás mellett a két fonálinga?

$\displaystyle b)$ Mennyi idő múlva találkoznak másodszor?

$\displaystyle c)$ Mekkorára kellene változtatni az ingahosszak arányát, hogy az ötödik találkozás legyen az első olyan, amikor az ingák sebességének iránya azonos?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. Kis kitérések esetén a fonálingák szögkitérése:

$\displaystyle \varphi_1(t)=A \cos(\omega_1t), \qquad \varphi_2(t)=-A \cos(\omega_2t),$

ahol $\displaystyle A\ll 1$ a lengések maximális szögkitérése, a körfrekvenciák pedig

$\displaystyle \omega_1=\sqrt{\frac{g}{\ell_1}}\approx 6{,}26~\frac{1}{\rm s}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2=\sqrt{\frac{g}{\ell_2}}\approx 2{,}86~\frac{1}{\rm s}.$

A továbbiak szempontjából lényeges mennyiség a két körfrekvencia aránya:

$\displaystyle K=\frac{\omega_1}{\omega_2}=\sqrt{\frac{\ell_2}{\ell_1}}=2{,}19.$

(A fenti képletekben szereplő körfrekvenciák a fonalak rezgőmozgására vonatkoznak, nem keverendők össze a fonalak szögének pillanatnyi változási sebességéhez, vagyis a szögsebességükhöz tartozó körfrekvenciával.)

Amikor a két fonál egymás mellett halad el, teljesül $\displaystyle \varphi_1(t)=\varphi_2(t),$ vagyis

$\displaystyle \varphi_2(t)-\varphi_1(t)=A \cos(\omega_2t)+A\cos\left(K\omega_2t\right)\equiv 2A\cos\left(\frac{K+1}{2}\omega_2t\right)\cdot\cos\left(\frac{K-1}{2}\omega_2t\right)=0.$

A fenti egyenlet megoldásai:

$\displaystyle \omega_2t\equiv \alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}, \qquad \text{illetve}\qquad \omega_2t\equiv \beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1},$

ahol $\displaystyle n$ pozitív egész szám. $\displaystyle \alpha_n$ és $\displaystyle \beta_n$ az első inga (radiánban mért) fázisszöge az ingák találkozásának pillanatában. Esetünkben $\displaystyle K=2{,}19$, vagyis

$\displaystyle \alpha_1=0{,}98; \quad\alpha_2=2{,}95; \quad\alpha_3=4{,}92; \ldots,$

$\displaystyle \beta_1=2{,}63; \quad\beta_2=7{,}92; \quad\beta_3=13{,}20; \ldots.$

$\displaystyle a)$ A találkozások fázisszögeit növekvő sorrendbe rakva leolvashatjuk, hogy az indulástól számított

$\displaystyle t_1=\frac{\alpha_1}{\omega_2}=0{,}34~\rm s$

múlva kerül a két fonál fedésbe.

$\displaystyle b)$ A második találkozás időpontja:

$\displaystyle t_2=\frac{\beta_1}{\omega_2}=0{,}92~\rm s.$

$\displaystyle c)$ Belátjuk, hogy az $\displaystyle \alpha_i$ szögeknél az ingák ,,szembe haladva'' találkoznak, vagyis a sebességük ellentétes előjelű, a $\displaystyle \beta_i$ szögeknél pedig ugyanabba az irányba mozognak, sebességük egyforma előjelű.

A lengő testek sebessége:

$\displaystyle v_1(t)=-A\ell_1\omega_1\sin(\omega_1t), \qquad v_2(t)= A\ell_2\omega_2\sin(\omega_2t).$

$\displaystyle (i)$ A sebességek aránya az $\displaystyle \alpha_n$ fázisszögű találkozásoknál:

$\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\alpha_n}{\sin(K\alpha_n)}.$

Tekintve, hogy $\displaystyle \alpha_n+K\alpha_n=(2n-1)\pi,$ vagyis $\displaystyle \sin\alpha_n=\sin(K\alpha_n),$ a sebességek aránya negatív, az ingák szembe mozogva találkoznak.

$\displaystyle (ii)$ A sebességek aránya a $\displaystyle \beta_n$ fázisszögű találkozásoknál:

$\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=-\frac{\ell_1}{K\ell_2}\, \frac{\sin\beta_n}{\sin(K\beta_n)}.$

Tekintve, hogy $\displaystyle \beta_n-K\beta_n=(2n-1)\pi,$ vagyis $\displaystyle \sin\beta_n=-\sin(K\beta_n),$ a sebességek aránya pozitív, az ingák azonos irányba mozogva találkoznak.

Annak feltétele, hogy az ötödik találkozás legyen az első azonos irányba haladó::

$\displaystyle \alpha_4<\beta_1<\alpha_5,$

vagyis

$\displaystyle \frac{7\pi}{K+1}<\frac{ \pi}{K-1}<\frac{9\pi}{K+1}.$

Ebből következik, hogy $\displaystyle \frac54<K<\frac43$. Amennyiben $\displaystyle K>1{,}33$, akkor az ötödiknél hamarabb, $\displaystyle K<1{,}25$ esetén pedig az ötödiknél később következik be az első ,,szembetalálkozás''. Mivel $\displaystyle \ell_1/\ell_2=K^2$, a fonalak hosszának arányára a

$\displaystyle \frac{25}{16}<\frac{\ell_1}{\ell_2}<\frac{16}9$

megszorítást kapjuk.

II. megoldás. Mivel a harmonikus rezgőmozgás felfogható az egyenletes körmozgás vetületeként, a feladat átfogalmazható a következő módon: Egy $\displaystyle R$ sugarú, kör alakú futópálya egyik átmérőjének két végpontjából elindul egy-egy futó, sebességük $\displaystyle v$ és $\displaystyle Kv$. Hol találkoznak, ha ugyanabban az irányban, illetve ha ellentétes irányban járják be a pályát?

Ellentétes körüljárás esetén a találkozás feltétele:

$\displaystyle vt+Kvt=R\pi +(n-1)2R\pi=(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),$

vagyis

$\displaystyle \frac{vt}{R}=\alpha_n=(2n-1)\frac{\pi}{K+1}.$

A futók ilyenkor egymással szembe mozogva találkoznak.

Ha a futók ellentétes irányban indulnak el, akkor a találkozásuk feltétele:

$\displaystyle Kvt=vt+R\pi +(n-1)2R\pi=vt+(2n-1)R\pi,\qquad (n=1,2,3,\ldots),$

vagyis

$\displaystyle \frac{vt}{R}=\beta_n=(2n-1)\frac{\pi}{K-1}.$

A futók ilyenkor azonos irányban mozogva találkoznak, az egyik ,,lehagyja'' a másikat.

A továbbiakban (az ingák hosszából kiszámítható) $\displaystyle \frac{v}{R}=\omega_1=6{,}26~\frac{1}{\rm s}$ értéket felhasználva az I. megoldásban ismertetett eredményeket kapjuk.

Statisztika:

29 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békési Ábel, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Rusvai Miklós, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Bokor Endre, Endrész Balázs, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Tóth Ábel, Vass Bence.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai