A P. 5188. feladat (2020. január)

P. 5188. Vízszintes felületen egyenes vonalban mozgó, téglatest alakú hasáb a súrlódás következtében egyenletesen lassul. Az ábra a hasáb mozgásának sebesség–idő grafikonját mutatja.

A hasáb tetejére rugós játékágyút rögzítettek, ami $\displaystyle v_0$ torkolati sebességű, $\displaystyle m$ tömegű lövedéket lő ki pillanatszerűen a hasáb lassuló mozgása során. A hasáb és az ágyú együttes tömege $\displaystyle M$.

$\displaystyle a)$ Milyen irányban álljon az ágyú csöve, hogy a kilövés egyáltalán ne legyen hatással a hasáb lassulására, vagyis a grafikon az ábra szerint folytatódjon a kilövés után is?

$\displaystyle b)$ Ha az ágyúcsövet az előzőekben meghatározott szög felére engedjük le, akkor a kilövés milyen módon befolyásolja a lassulási grafikont? Ábrázoljuk a módosult sebesség-idő grafikont, ha a kilövés $\displaystyle t=2$ s-nál következik be!

Adatok: $\displaystyle m=0{,}1~$kg, $\displaystyle M=1~$kg, $\displaystyle v_0=5~$m/s.

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A grafikonról leolvasható, hogy a hasáb gyorsulása: $\displaystyle a=\mu g=-2~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 0{,}2\,g$, tehát a csúszási súrlódási együttható közelítőleg 0,2. (A pontosabb érték: 0,204.) A hasábra a vízszintes felület olyan erőt fejt ki, amely a függőlegessel (a hasáb haladási irányához képest ,,hátrafelé'') $\displaystyle \varphi=\arctg \mu=11{,}31^\circ\text{-os}$ szöget zár be.

A pillanatszerűnek tekintett (valójában csak nagyon rövid ideig tartó) kilövés során a lövedék hirtelen felgyorsul, tehát igen rövid $\displaystyle \Delta t$ ideig nagyon nagy $\displaystyle \boldsymbol F$ erő hat rá. A hasábra ugyancsak egy nagy erőlökés hat (amit a vízszintes felület fejt ki), ez akadályozza meg, hogy a hasáb függőleges irányban elmozduljon. A hasábra ható erőlökés iránya a függőlegessel ugyancsak $\displaystyle \varphi$ szöget zár be, hiszen azt az $\displaystyle \boldsymbol N$ nyomóerő és az $\displaystyle \boldsymbol S$ súrlódási erő eredője hozza létre. A lendületmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle a)$ Amennyiben a kilövés nincs hatással a hasáb mozgására (vagyis nem változik meg hirtelen a hasáb sebessége), akkor $\displaystyle \Delta{ \boldsymbol v}_\text{hasáb}=0$, és így $\displaystyle \boldsymbol F$ és $\displaystyle \boldsymbol v_\text{lövedék}$ azonos irányú vektorok. Az előbbi a függőlegessel $\displaystyle \varphi$ szöget zár be, a lövedék sebességét pedig az ágyúcső függőlegessel bezárt $\displaystyle \gamma$ szöge határozza meg. Az (1) egyenlet csak akkor teljesülhet, ha $\displaystyle \gamma=\varphi$, vagyis az ágyúcső a vízszintessel $\displaystyle 90^\circ-\varphi=78{,}47^\circ$-os szöget zár be.

Megjegyzés. A kilőtt lövedék sebességének benne kell lennie a hasáb sebessége és a függőleges által meghatározott síkban. Ha az ágyúcső ,,ferdén'' állna, akkor a lövedék ,,oldalirányú'' lendülete megváltoztatná a hasáb mozgásának irányát.

$\displaystyle b)$ Változtassuk meg most az ágyúcsőnek a vízszintessel bezárt szögét az előző esetbeli szög felére, $\displaystyle 39{,}23^\circ$-ra, vagyis legyen az ágyúcső és a függőleges szöge $\displaystyle \gamma'=50{,}77^\circ$.

A kilövés pillanatában ($\displaystyle t=2~\rm s$-nál az $\displaystyle M+m$ tömegű rendszer $\displaystyle v_1=6$ m/s sebességgel mozog, tehát a lendülete $\displaystyle (M+m)v_1$. A kilövés hatására a hasáb sebessége hirtelen megváltozik, nagysága $\displaystyle v_2$ lesz. Az $\displaystyle m$ tömegű lövedék a hasábhoz képest $\displaystyle v_0\cos\gamma'$ függőleges irányú és $\displaystyle -v_0\sin\gamma'$ vízszintes irányú sebességre tesz szert. A lövedék vízszintes sebességkomponense a talajhoz képest $\displaystyle v_2-v_0\sin\gamma'$ nagyságú. A függőleges irányú lendületváltozást az

$\displaystyle N\Delta t=mv_y$

erőlökés hozta létre. A vízszintes irányú erőlökés:

$\displaystyle S\Delta t=-\mu N \Delta t= -\mu m v_y.$

A vízszintes irányú lendületváltozást leíró egyenlet:

$\displaystyle (Mv_2+m(v_2-v_0\sin\gamma')-(M+m)v_1= -\mu m v_0\cos\gamma',$

ahonnan a hasáb sebességváltozása:

$\displaystyle v_2-v_1=\frac{m}{M+m}v_0\cos\gamma'(\tg\gamma'-\mu).$

(Látható, hogy ha $\displaystyle \tg\gamma'=\mu$ teljesülne, akkor nem változna meg a hasáb sebessége a kilövés következtében, ahogy ezt már korábban beláttuk.) A leeresztett csövű ágyúnál viszont $\displaystyle v_2-v_1=0{,}294~{\rm m/s}\approx 0{,}3~{\rm m/s}$, tehát a hasáb sebessége a kilövés hatására 6,3 m/s-ra nő. A hasáb a további mozgása során ugyanolyan ütemben lassul, mint korábban (hiszen a súrlódás miatti fékeződés üteme nem függ a mozgó test tömegétől).

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Nguyễn Đức Anh Quân.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai