A P. 5190. feladat (2020. január)

P. 5190. Egy vékony falú, függőlegesen álló üvegcső alul szabályos félgömb alakú. A cső átmérője 10 cm. Vizet töltünk a csőbe, 20 cm magasan. A cső tengelye mentén, a vízfelület felett 30 cm magasan egy kicsiny fényforrás világít.

$\displaystyle a)$ Hova tegyünk egy ernyőt, hogy azon a fényforrás éles képe jelenjen meg?

$\displaystyle b)$ Mekkora a kép nagyítása?

(A víz törésmutatója $\displaystyle n= 4/3$.)

Közli: Radnai Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. A fényforrás éles, fényes képét elsősorban a tengelyhez közel haladó (ún. paraxiális) fénysugarak hozzák létre. Ezen sugaraknak az optikai tengellyel bezárt szöge elegendően kicsiny ahhoz, hogy a szög szinuszát és a tangensét magával a szöggel (annak ívmértékben mért értékével) közelítsük. A továbbiakban csak a paraxiális fénysugarakkal fogunk foglalkozni.

1. ábra

Tekintsünk két különböző ($\displaystyle n_1$ és $\displaystyle n_2$) törésmutatójú közeget, amelyet $\displaystyle r$ sugarú gömbfelület választ el egymástól. Az $\displaystyle n_1$ törésmutatójú közegben a határfelülettől $\displaystyle t$ távolságra egy kicsiny tárgy (fényforrás) található, amelyből kiinduló fénysugarak az $\displaystyle n_2$ törésmutatójú közegben $\displaystyle k$ távolságban alkotnak képet. Az 1. ábrán látható jelölésekkel a törési törvényt alkalmazva megkaphatjuk, hogy

$\displaystyle \frac{n_1}{n_2}\left(\frac{t}{r}-1\right)\varepsilon=\frac{t}{k}\varepsilon+\frac{t}{r}\varepsilon,$

ahonnan némi átalakítás után adódik az

összefüggés. (Ez akkor igaz, ha a határfelület gömbjének középpontja az $\displaystyle n_1$-nek megfelelő oldalon helyezkedik el. Ellenkező esetben $\displaystyle r$ helyébe $\displaystyle -r$ írandó. Amennyiben a határfelület sík, ami felfogható $\displaystyle r\rightarrow \infty$ sugarú gömbnek, akkor az $\displaystyle 1/r$-es tag helyébe nulla kerül.)

A 2. ábra jelöléseivel a törési törvényt alkalmazva kiszámíthatjuk, hogy

$\displaystyle k \left(\frac{n_1}{n_2}-1\right)\frac{T}{r}=T+K,$

ahonnan algebrai átalakítások után és (1)-et is felhasználva adódik, hogy a nagyítás:

2. ábra

Alkalmazzuk az (1) és (2) összefüggéseket az üvegcsőben lévő vízre először a felső, sík határon, majd a félgömbből kilépő fénysugarakra az üvegcső aljánál. Az első fénytörésnél

$\displaystyle n_1=1, \quad n_2=n=\frac{4}{3}\qquad \text{és}\qquad t_1=30~{\rm cm},$

így a fényforrás első képtávolsága (1) alapján:

$\displaystyle k_1=-n\,t=-40~{\rm cm}.$

A nagyítás:

$\displaystyle N_1=\frac{1}{n}\,\frac{k_1}{t}=-1.$

A kép a vízfelszín felett 40 cm-re jön létre, egyenes állású és látszólagos (virtuális).

A második képalkotásnál

$\displaystyle t_1=20~{\rm cm}-k_1=60~{\rm cm},\quad n_1=n=\frac{4}{3}, \quad n_2=1 \qquad \text{és}\qquad r=5~{\rm cm}.$

Ezeket (1) és (2)-be behelyettesítve adódik, hogy

$\displaystyle k_2=22{,}5~{\rm cm}\qquad \text{és}\qquad N_2=\frac{1}{2}.$

Az ernyőt tehát az üvegcső alja alá, attól 22,5 cm távolságra kell elhelyeznünk, és az ott létrejövő valódi, fordított állású kép nagyítása: $\displaystyle \vert N_1N_2\vert = 0{,}5$.

II. megoldás. $\displaystyle a)$ Ismert jelenség, hogy a vízben $\displaystyle h$ mélységben lévő tárgyak fentről, a levegőből (majdnem függőlegesen) nézve felemelkedve látszanak: $\displaystyle h$ helyett $\displaystyle h/n$ mélységben lévőnek látjuk ezeket. (Sokat emlegetett példa az úszómedence alja, vagy egy vizesfazék feneke.) Mindez a tárgyon átmenő függőleges egyeneshez közeli fénysugarakra, paraxiális közelítésben igaz, amikor a fénytörés törvénye közelítőleg a $\displaystyle \sin\alpha\approx \alpha=n\sin\beta\approx n\beta$ alakot ölti. ($\displaystyle \alpha$ a beesési szög, $\displaystyle \beta$ pedig a törési szög.)

Ennek megfelelően egy, a víz felett 30 cm-re lévő fényforrásról jövő fénysugarak a víz felületén megtörve úgy haladnak tovább, mintha $\displaystyle n$-szer magasabbról indultak volna ki, tehát jelen esetben a 30 cm-nek 4/3-szorosáról. Úgy érik el a leképező eszközt a cső alján, mintha 40+20=60 cm-ről jöttek volna, végig vízben.

Vágjuk el – gondolatban – az üvegcsövet és a benne lévő vizet az aljának közvetlen közelében egy vízszintes síkkal, és juttassunk a vágásba egy nagyon vékony levegőréteget. Ha nem gömb-, hanem síkfelület lenne az üvegcső alja, úgy lépnének ki a fénysugarak, mintha

$\displaystyle t=\frac{h}{n} = \frac{60}{(4/3)} = 45~\rm cm$

távolságból indultak volna el a levegőben.

Így találkoznak egy vékony sík-domború lencsével, amelynek

$\displaystyle \frac{R}{n-1}= 15~\rm cm$

a fókusztávolsága. A lencsetörvény szerint

$\displaystyle \frac{1}{k}= \frac{1}{f}-\frac{1}{t}=\frac{1}{15~\rm cm}- \frac{1}{45~\rm cm}=\frac{2}{45~\rm cm},$

vagyis a fényforrás a valódi kép $\displaystyle k=22{,}5$ cm-re keletkezik a cső gömbölyű alja alatt.

$\displaystyle b)$ A levegő-víz és a víz-levegő határon áthaladó fénysugarak nem változtatják meg a tárgy vízszintes méretét, a vízlencse viszont igen:

$\displaystyle N=\frac{k}{t}=\frac{22{,}5~\rm cm}{45~\rm cm}=\frac{1}{2}\text{-szeres}$

nagyítású (vagyis felére kicsinyített) képet állít elő.

Statisztika:

6 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân.
4 pontot kapott:	Endrész Balázs.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai