 |
A P. 5192. feladat (2020. január) |
P. 5192. Az ábrán látható, egyik végén zárt, U alakú, \(\displaystyle 1~\mathrm{cm}^2\) keresztmetszetű csőben lévő higany \(\displaystyle 40\) cm hosszúságú, 300 K hőmérsékletű levegőt zár be. A külső légnyomás 76 cm magas higanyoszlop hidrosztatikai nyomásával egyezik meg.
A bezárt gáz hőmérsékletét állandónak tartva, \(\displaystyle V_0\) térfogatú higany betöltése után a cső két szárában a higanyszint megegyezik. Ha ezek után a bezárt levegőt melegítjük, azt tapasztaljuk, hogy a nyomása minden hőmérsékleten egyenesen arányos a térfogatával. Mekkora a \(\displaystyle V_0\) térfogat?
Közli: Kotek László, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Mérjük a térfogatot \(\displaystyle \rm cm^3\), a levegőoszlop hosszát cm, a nyomást pedig Hgcm egységekben! Így a külső légnyomás \(\displaystyle p_0=76\), a gáz kezdeti térfogata pedig \(\displaystyle V_1=40\).
Legyen a keresett \(\displaystyle V_0\) térfogatú higany betöltése után a bezárt levegő hossza (térfogata) \(\displaystyle L^*\), a nyomása pedig 76 (Hgcm). Ha ezek után a hőmérséklet növelésével a higanyoszlop \(\displaystyle x\) centiméternyit elmozdul, akkor a térfogata
\(\displaystyle V(x)=L^*+x,\)
a nyomása pedig a \(\displaystyle 2x\) szintkülönbség miatt
\(\displaystyle p(x)=76+2x\)
lesz. Ha a bezárt gáz nyomása minden hőmérsékleten (bármilyen \(\displaystyle x\)-nél) arányos a térfogatával, akkor a
\(\displaystyle \frac{p(x)}{V(x)}\equiv\frac{2(38+x)}{L^*+x}\)
hányados nem függ \(\displaystyle x\)-től. Ez a feltétel akkor teljesül, ha \(\displaystyle L^*=38\) cm.
A kezdőállapotban a nyomás \(\displaystyle p_\text{kezdeti}\), a térfogat 40 volt, majd izotermikus összenyomás után a nyomás 76, a térfogat pedig 38 egység lett. A gáztörvény szerint
\(\displaystyle p_\text{kezdeti}=\frac{38\cdot 76}{40}=72{,}2.\)
Ez 3,8 Hgcm-rel kisebb, mint a \(\displaystyle p_0=76\)-os külső légnyomás, emiatt az U alakú cső jobb oldali (nyitott) szárában 3,8 cm-rel alacsonyabban áll a higany, mint a bal oldali (bezárt) szárban.
Most már válaszolhatunk az eredeti kérdésre. A cső jobb oldali szárába összesen
\(\displaystyle V_0=(2~{\rm cm}+3{,}8~{\rm cm}+2~{\rm cm}) \cdot (1~\rm cm^2)=7{,}8~\rm cm^3\)
higanyt kellett öntenünk, hogy a leírt tulajdonságú eszköz létrejöjjön. Az egyes lépéseket az alábbi (nem méretarányos) ábra szemlélteti.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Barnabás, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Viczián Anna. 4 pontot kapott: Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Szabados Noémi, Vass Bence. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2020. januári fizika feladatai