A P. 5192. feladat (2020. január)

P. 5192. Az ábrán látható, egyik végén zárt, U alakú, $\displaystyle 1~\mathrm{cm}^2$ keresztmetszetű csőben lévő higany $\displaystyle 40$ cm hosszúságú, 300 K hőmérsékletű levegőt zár be. A külső légnyomás 76 cm magas higanyoszlop hidrosztatikai nyomásával egyezik meg.

A bezárt gáz hőmérsékletét állandónak tartva, $\displaystyle V_0$ térfogatú higany betöltése után a cső két szárában a higanyszint megegyezik. Ha ezek után a bezárt levegőt melegítjük, azt tapasztaljuk, hogy a nyomása minden hőmérsékleten egyenesen arányos a térfogatával. Mekkora a $\displaystyle V_0$ térfogat?

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Mérjük a térfogatot $\displaystyle \rm cm^3$, a levegőoszlop hosszát cm, a nyomást pedig Hgcm egységekben! Így a külső légnyomás $\displaystyle p_0=76$, a gáz kezdeti térfogata pedig $\displaystyle V_1=40$.

Legyen a keresett $\displaystyle V_0$ térfogatú higany betöltése után a bezárt levegő hossza (térfogata) $\displaystyle L^*$, a nyomása pedig 76 (Hgcm). Ha ezek után a hőmérséklet növelésével a higanyoszlop $\displaystyle x$ centiméternyit elmozdul, akkor a térfogata

$\displaystyle V(x)=L^*+x,$

a nyomása pedig a $\displaystyle 2x$ szintkülönbség miatt

$\displaystyle p(x)=76+2x$

lesz. Ha a bezárt gáz nyomása minden hőmérsékleten (bármilyen $\displaystyle x$-nél) arányos a térfogatával, akkor a

$\displaystyle \frac{p(x)}{V(x)}\equiv\frac{2(38+x)}{L^*+x}$

hányados nem függ $\displaystyle x$-től. Ez a feltétel akkor teljesül, ha $\displaystyle L^*=38$ cm.

A kezdőállapotban a nyomás $\displaystyle p_\text{kezdeti}$, a térfogat 40 volt, majd izotermikus összenyomás után a nyomás 76, a térfogat pedig 38 egység lett. A gáztörvény szerint

$\displaystyle p_\text{kezdeti}=\frac{38\cdot 76}{40}=72{,}2.$

Ez 3,8 Hgcm-rel kisebb, mint a $\displaystyle p_0=76$-os külső légnyomás, emiatt az U alakú cső jobb oldali (nyitott) szárában 3,8 cm-rel alacsonyabban áll a higany, mint a bal oldali (bezárt) szárban.

Most már válaszolhatunk az eredeti kérdésre. A cső jobb oldali szárába összesen

$\displaystyle V_0=(2~{\rm cm}+3{,}8~{\rm cm}+2~{\rm cm}) \cdot (1~\rm cm^2)=7{,}8~\rm cm^3$

higanyt kellett öntenünk, hogy a leírt tulajdonságú eszköz létrejöjjön. Az egyes lépéseket az alábbi (nem méretarányos) ábra szemlélteti.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bekes Barnabás, Bokor Endre, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Perényi Barnabás, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Györgyfalvai Fanni, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Szabados Noémi, Vass Bence.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai