A P. 5194. feladat (2020. január)

P. 5194. Tekintsünk két azonos méretű, de a köztük lévő 0,2 m távolsághoz képest kicsiny fémgömböt! A két gömbnek különböző töltése van, és 1,2 N erővel vonzzák egymást. A gömböket összeérintjük, majd visszahelyezzük őket az eredeti helyükre. Azt találjuk, hogy most taszítják egymást, de az erő nagysága az előzővel azonos. Mennyi volt a fémgömbök eredeti töltése?

Tornyai Sándor fizikaverseny, Hódmezővásárhely

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a fémgömbök eredeti töltését \(\displaystyle Q_1\)-gyel és \(\displaystyle Q_2\)-vel, az összeérintésük utáni töltésüket pedig \(\displaystyle Q_0\)-lal. (A gömbök egyforma mérete miatt a fémgömbök töltése egyenlő nagyságú lesz.) Nyilván \(\displaystyle Q_1+Q_2=2Q_0\).

Az egyforma töltésű, egymástól \(\displaystyle d\) távolságra lévő töltések közötti \(\displaystyle F\) taszítóerőre felírhatjuk a Coulomb-törvényt:

\(\displaystyle F=k\frac{Q_0^2}{d^2},\)

ahonnan

\(\displaystyle Q_0=\pm \sqrt{\frac{Fd^2}{k}} =\pm \sqrt{ \frac{\left(1{,}2~\rm N\right)\, \left(0{,}2~{\rm m}\right)^2} {9\cdot10^9~\frac{\rm N\,m^2}{\rm C^2}}} =\pm 2{,}3\cdot 10^{-6}~\rm C. \)

Keressük a kezdeti töltéseket

\(\displaystyle Q_1=(1+x)Q_0 \qquad \text{és} \qquad Q_1=(1-x)Q_0\)

alakban. Az erők nagyságának egyenlősége miatt

\(\displaystyle Q_1Q_2=-Q_0^2 \qquad \text{vagyis} \qquad (1+x)(1-x)=-1.\)

Innen

\(\displaystyle 1-x^2 =-1, \qquad \text{azaz} \qquad x=\pm \sqrt{2}.\)

A feladat megoldásai tehát:

\(\displaystyle Q_1=+5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=-1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-5{,}58~\mu\rm C, \qquad Q_2=+1{,}0~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=-1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=+5{,}58~\mu\rm C; \)

\(\displaystyle Q_1=+1{,}0~\mu\rm C, \qquad Q_2=-5{,}58~\mu\rm C. \)

Ezek csak a töltések előjelében térnek el egymástól, illetve a fémgömbök számozásában különböznek, tehát mind a négy eset – lényegében – ugyanannak a töltéseloszlásnak felel meg.

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Dékány Csaba, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Nguyễn Đức Anh Quân, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony, Vass Bence.
3 pontot kapott:	Balázs 825 Ádám , Csécsi Marcell, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Répási Tamás, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Szász Levente, Tanner Norman, Téglás Panna.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai