A P. 5195. feladat (2020. január)

P. 5195. Egy \(\displaystyle a=60~\)cm oldalhosszúságú, egyenlő oldalú háromszög csúcsaiban egy-egy \(\displaystyle Q=6\cdot 10^{-7}\) C nagyságú, pontszerűnek tekinthető töltés helyezkedik el vákuumban. Mekkora és milyen irányú az elektromos térerősség a háromszög oldalharmadoló pontjaiban?

Közli: Holics László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Használjuk az ábra jelöléseit!

A kérdéses pont és a háromszög csúcspontjainak távolsága:

\(\displaystyle d_1=\frac13a; \qquad d_2=\frac23a;\qquad d_3=\frac{\sqrt{7}}3a.\)

(\(\displaystyle d_3\)-t pl. a koszinusztétel segítségével kaphatjuk meg.)

Az egyes töltések által létrehozott elektromos térerősség nagysága \(\displaystyle E_i=k\frac{Q}{d_i^2}\), vagyis

\(\displaystyle E_1= 13{,}48\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}, \qquad E_2= 3{,}37\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}, \qquad E_3= 1{,}93\cdot10^4~ \frac{\rm V}{\rm m}. \)

Az ábrán jelölt \(\displaystyle \gamma\) szög ugyancsak a koszinusztétel segítségével:

\(\displaystyle \cos\gamma=\frac{1}{2\sqrt{7}}\approx 0{,}188 \qquad \Rightarrow \qquad \gamma\approx 79{,}1^\circ.\)

Az eredő térerősség (ismét a koszinusztétel felhasználásával):

\(\displaystyle E_\text{eredő}=\sqrt{(E_1-E_2)^2+E_3^2-2(E_1-E_2)E_3\cos\gamma}\approx 1{,}0\cdot10^4~\frac{\rm V}{\rm m}.\)

Az eredő térerősség-vektor irányát pl. a háromszög oldalharmadoló pontját tartalmazó élével bezárt \(\displaystyle \alpha\) szöggel adhatjuk meg, felhasználva a szinusztételt:

\(\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{E_3}{E_1-E_2} \qquad \Rightarrow \qquad \alpha\approx 10{,}8^\circ.\)

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bohács Tamás, Bonifert Balázs, Csécsi Marcell, Endrész Balázs, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fiam Regina, Hartmann Alice, Horváth Antal, Kardkovács Levente, Kertész Balázs, Kozaróczy Csaba, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Schäffer Bálint, Sepsi Csombor Márton, Somlán Gellért, Takács Dóra, Tanner Norman, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony, Vass Bence.
3 pontot kapott:	Fülöp Sámuel Sihombing, Györgyfalvai Fanni, Hamar Dávid, Horváth 999 Anikó, Kalmár Dóra, Magyar Gábor Balázs, Selmi Bálint, Szabó 314 László, Török 111 László.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai