A P. 5196. feladat (2020. január)

P. 5196. Egy rakéta a hajtóművének működése közben csak a kiáramló gázsugárra ,,támaszkodhat''. A hajtóanyag energiájának jelentős részét a kiáramló gázok viszik magukkal, a rakéta mozgási energiájának növelésére a felszabaduló energia kisebb hányada jut.

$\displaystyle a)$ Határozzuk meg, hogy mekkora $\displaystyle \Delta v$ értékkel nő a rakéta sebessége, ha az $\displaystyle M$ tömegű rakétából valamennyi idő alatt egy kicsiny $\displaystyle \Delta M$ tömegű gáz áramlik ki hátrafelé, a rakétához képest $\displaystyle u$ sebességgel! (A gravitációs erőt itt és a továbbiakban elhanyagoljuk.)

$\displaystyle b)$ Mekkora lesz az $\displaystyle M_0$ tömeggel induló rakéta sebessége, amikor a tömege már $\displaystyle M$ $\displaystyle (M<M_0)$ értékre csökken?

Útmutatás: felhasználhatjuk, hogy

$\displaystyle \int_{x_1}^{x_2} \frac{1}{x}\, \mathrm{d}x=\ln \frac{x_2}{x_1}.$

$\displaystyle c)$ Mekkora az $\displaystyle M$ tömegű rakéta és a kiáramlott gázok összes mozgási energiája az indulási vonatkoztatási rendszerben?

Útmutatás: felhasználhatjuk, hogy a kiáramlott gázokból és a rakétából álló teljes rendszer mozgási energiájának megváltozása független a vonatkoztatási rendszertől, így pl. a rakétával együtt mozgó rendszerben is ugyanakkora, mint az indulási vonatkoztatási rendszerben.

$\displaystyle d)$ Legfeljebb mekkora lehet a rakétameghajtás ,,mechanikai hatásfoka'', vagyis a rakéta mozgási energiájának és az összes mozgási energiának a hányadosa az indítási vonatkoztatási rendszerben?

Némedi István (1932–1998) feladata

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A lendületmegmaradás törvénye szerint

$\displaystyle (M-\Delta M)(v+\Delta v)+(v-u)\Delta M=Mv,$

ahonnan (a másodrendűen kicsi $\displaystyle \Delta M\cdot \Delta v$ kifejezés elhanyagolása után)

$\displaystyle b)$ Az (1) összefüggéseket összegezve a rakéta pillanatnyi ($\displaystyle M$ tömeghez tartozó) sebességére a

összefüggés adódik. Ezt az egyenletet, amely az idealizált (gravitáció és légellenállás nélküli) rakétamozgás alapképlete, Ciolkovszkij-egyenletnek nevezik.

$\displaystyle c)$ A rakétából és a kiáramló gázokból álló rendszer összes mozgási energiájának megváltozása az indulási (földi) vonatkoztatási rendszerben ugyanakkora, mint bármelyik másik (a Földhöz képest $\displaystyle v_0$ sebességgel mozgó) rendszerben:

$\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right) -v_0\cdot \Delta\left(\sum_i m_iv_i\right)+ \frac{1}{2}v_0^2\cdot \Delta \left(\sum_im_i\right).$

A jobb oldal második összege a lendületmegmaradás, a harmadik pedig a tömegmegmaradás törvénye szerint állandó (vagyis a megváltozásuk nulla), így valóban fennáll, hogy

$\displaystyle \Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_i(v_i-v_0)^2\right)=\Delta \left(\sum_i \frac{1}{2}m_iv_i^2\right).$

A teljes (zárt) rendszer egyes részeinek energiaváltozása függ a vonatkoztatási rendszer megválasztásától. Ha például a rakéta pillanatnyi nyugalmi rendszerében számoljuk ki a mozgási energia kicsiny megváltozását, ez a rakétára nézve $\displaystyle \Delta v^2$-tel arányos, tehát első (lineáris) közelítésben nulla. A kiáramló gázok mozgási energiájának megváltozása ebben a rendszerben

$\displaystyle \Delta E^\text{(gázok)}=\Delta M\cdot \frac{u^2}{2},$

az összes mozgási energia változása tehát

$\displaystyle d)$ A rakétahajtás mechanikai hatásfoka (az indulástól a $\displaystyle v(M)$ sebességet elérő állapotig) a (2) és (3) összefüggések felhasználásával:

$\displaystyle \eta=\frac{E^\text{(rakéta)}}{E^\text{(összes)}}=\frac{\frac{1}{2}Mv^2(M)}{\frac{1}{2}(M_0-M)u^2}=\frac{\ln^2(M_0/M)}{M_0/M-1}.$

Látható, hogy $\displaystyle \eta$ csak a $\displaystyle k=M/M_0$ tömegaránytól függ. Induláskor ($\displaystyle k\approx 1$ esetben, amikor a rakétának még nagy a tömege, de kicsi a sebessége) a hatásfok nagyon kicsi: $\displaystyle \eta\approx k-1$. Ugyancsak kicsi (nullához tart) a hatásfok akkor, amikor a rakéta tömege már sokkal kisebb, mint az induló tömeg, jóllehet a rakéta sebessége ilyenkor már nagy. Az $\displaystyle \eta(k)$ függvénynek $\displaystyle k\approx 0{,}203$-nál van maximuma, és a maximum értéke 0,647.

A rakétahajtás mechanikai hatásfoka tehát nem lehet nagyobb, mint kb. 65 százalék.

Statisztika:

8 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bokor Endre, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. januári fizika feladatai