A P. 5197. feladat (2020. február)

P. 5197. Micimackó kapott ajándékba egy 20 cm sugarú, gömb alakú lufit. A léggömb úgy volt megtöltve héliummal, hogy ha elengedte a fonalát, éppen lebegett a levegőben, nem emelkedett fel, de nem is süllyedt le.

Micimackó örömében elkezdett körbe szaladni a lufival úgy, hogy az egyik kezével fogta a lufi fonalának végét. Így a lufi egyenletes körmozgást végzett. Malacka megfigyelte, hogy bármekkora is Micimackó állandó szögsebessége, a lufi fonala mindig \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be a kör érintőjével.

Mekkora a lufi körpályájának sugara? (A fonál súlyától és a lufi alakjának esetleges megváltozásától eltekinthetünk.)

Közli: Baranyai Klára, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. március 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az \(\displaystyle r\) sugarú lufi és a benne lévő hélium \(\displaystyle m\) össztömege megegyezik a kiszorított levegő tömegével, hiszen lebeg a levegőben. Tehát

\(\displaystyle m=\frac{4r^3\pi}{3}\varrho_\text{levegő}.\)

Ha a lufit a fonálnál fogva \(\displaystyle R\) sugarú körpályán \(\displaystyle v\) sebességgel mozgatjuk, akkor a fonálerő sugár irányú komponense

\(\displaystyle F_1=\frac{mv^2}{R}=\frac{4r^3\pi v^2}{3R}\varrho_\text{levegő},\)

érintő irányú komponense pedig a közegellenállási erővel megegyező

\(\displaystyle F_2=\frac{c}{2}\,\left(r^2\pi\right)\,v^2 \varrho_\text{levegő}\)

nagyságú. (\(\displaystyle c\approx 0{,}45\) a gömb közegellenállási alaktényezője.)

Mivel a fonál mindig \(\displaystyle 45^\circ\)-os szöget zár be a kör érintőjével, \(\displaystyle F_1=F_2\) teljesül, ahonnan a körpálya sugara:

\(\displaystyle R=\frac{8r}{3c}\approx 1{,}2~\rm m.\)

Érdekes, hogy \(\displaystyle R\) nem függ sem a lufi sebességétől, sem a közeg (a levegő) sűrűségétől.

Megjegyzés. A közegellenállási erő lényegében abból származik, hogy a lufi mozgatása közben a közelében lévő (nagyjából a lufi térfogatával megegyező mennyiségű) levegőt is mozgásba kell hoznunk, és a megmozgatott levegő sebessége \(\displaystyle v\) nagyságrendű. (A ,,nagyjából'' és a ,,nagyságrendű'' kifejezések pontosítását az alaktényezőtől várhatjuk.)

A fenti megoldásban a centripetális erő kiszámításánál csak a lufi lendületének irányváltozását vettük figyelembe, a lufi által megmozgatott levegő hatásával nem törődtünk. Egy egyenes mentén gyorsított testnél a környező levegő hatása úgy jelentkezik, mintha a test ún. ,,effektív tömege'' (az a tömeg, ami a Newton-egyenletben szerepel) a valóságos értékénél nagyobb lenne, a különbség kb. a kiszorított levegő tömegével egyezik meg. Az a kérdés, hogy vajon az effektív tömeges leírásmód a körmozgásnál is alkalmazható-e (vagyis a centripetális erő képletébe is valamekkora effektív tömeget kell-e írnunk) lényegesen meghaladja a középiskolai fizika szintjét, ezért ennek tárgyalását – természetesen – nem várjuk el a KöMaL megoldóitól sem.

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Dóra Márton, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Jánosik Áron, Ludányi Levente, Pálfi Fanni, Sas 202 Mór, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Bokor Endre, Hamar Dávid, Magyar Gábor Balázs, Pálfi Fruzsina Karina.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2020. februári fizika feladatai