A P. 5215. feladat (2020. március)

P. 5215. Egy raktárépület alapja négyzet, falai 40 cm vastag téglából készültek. A falfelület $\displaystyle \frac34$ részét 10 cm vastag, $\displaystyle \frac14$ részét részét pedig 20 cm vastag hőszigetelő réteggel borították. A tégla hővezetési tényezője 10-szer nagyobb, mint a hőszigetelő anyagé. Ha a ház falát mindenhol ugyanolyan, $\displaystyle d$ vastagságú hőszigetelő réteggel borították volna, akkor a hőterjedés szempontjából a két elrendezés ugyanúgy viselkedne. Mekkora $\displaystyle d$ értéke?

Közli: Szász Krisztián, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a raktár teljes falfelületét $\displaystyle A$-val, a külső réteg hővezetési tényezőjét $\displaystyle \lambda$-val (ekkor a tégla hővezetési tényezője $\displaystyle 10\lambda$). Ha a belső hőmérséklet $\displaystyle T_1$, a külső $\displaystyle T_2$, a tégla és a hőszigetelő határfelületén pedig $\displaystyle T$, akkor a hőáramsűrűség (egységnyi idő alatt egységnyi felületen átvezetett hő) a 40 cm vastag téglafalon is, és a 10 cm vastag szigetelőrétegen is ugyanakkora:

$\displaystyle j_1=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}1~\rm m}.$

Innen $\displaystyle T$ kiszámítható:

$\displaystyle T=\frac{T_1+0{,}4\,T_2}{1{,}4},$

a hőáramsűrűség pedig

$\displaystyle j_1=7{,}14\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.$

Hasonló módon számolhatunk a 20 cm vastag szigeteléssel ellátott falnál is:

$\displaystyle j_2=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}2~\rm m},$

ahonnan

$\displaystyle T=\frac{5T_1+T_2}{6},$

és a hőáramsűrűség

$\displaystyle j_2=4{,}17\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.$

Ha a fal mindenhol ugyanakkora, $\displaystyle d$ vastagságú hőszigetelést kapott volna, a hőáramsűrűség:

$\displaystyle j_3=\frac{25}{25\,d+1~\rm m}\,\lambda\left(T_1-T_2\right).$

A kétféle megoldás akkor egyenértékű, ha a hőleadás (ugyanannyi idő és ugyanakkora hőmérséklet-különbség esetén) megegyezik:

$\displaystyle \frac{3}{4}Aj_1+\frac{1}{4}Aj_2= Aj_3,$

ami $\displaystyle d=0{,}116~{\rm m}\approx 12~\rm cm$ mellett teljesül.

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bokor Endre, Endrész Balázs, Fonyi Máté Sándor, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Téglás Panna, Varga Vázsony.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. márciusi fizika feladatai