 |
A P. 5215. feladat (2020. március) |
P. 5215. Egy raktárépület alapja négyzet, falai 40 cm vastag téglából készültek. A falfelület \(\displaystyle \frac34\) részét 10 cm vastag, \(\displaystyle \frac14\) részét részét pedig 20 cm vastag hőszigetelő réteggel borították. A tégla hővezetési tényezője 10-szer nagyobb, mint a hőszigetelő anyagé. Ha a ház falát mindenhol ugyanolyan, \(\displaystyle d\) vastagságú hőszigetelő réteggel borították volna, akkor a hőterjedés szempontjából a két elrendezés ugyanúgy viselkedne. Mekkora \(\displaystyle d\) értéke?
Közli: Szász Krisztián, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. április 14-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a raktár teljes falfelületét \(\displaystyle A\)-val, a külső réteg hővezetési tényezőjét \(\displaystyle \lambda\)-val (ekkor a tégla hővezetési tényezője \(\displaystyle 10\lambda\)). Ha a belső hőmérséklet \(\displaystyle T_1\), a külső \(\displaystyle T_2\), a tégla és a hőszigetelő határfelületén pedig \(\displaystyle T\), akkor a hőáramsűrűség (egységnyi idő alatt egységnyi felületen átvezetett hő) a 40 cm vastag téglafalon is, és a 10 cm vastag szigetelőrétegen is ugyanakkora:
\(\displaystyle j_1=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}1~\rm m}.\)
Innen \(\displaystyle T\) kiszámítható:
\(\displaystyle T=\frac{T_1+0{,}4\,T_2}{1{,}4},\)
a hőáramsűrűség pedig
\(\displaystyle j_1=7{,}14\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.\)
Hasonló módon számolhatunk a 20 cm vastag szigeteléssel ellátott falnál is:
\(\displaystyle j_2=10\lambda \frac{T_1-T}{0{,}4~\rm m}=\lambda\frac{T-T_2}{0{,}2~\rm m},\)
ahonnan
\(\displaystyle T=\frac{5T_1+T_2}{6},\)
és a hőáramsűrűség
\(\displaystyle j_2=4{,}17\lambda\left(T_1-T_2\right)\,{\rm m}^{-1}.\)
Ha a fal mindenhol ugyanakkora, \(\displaystyle d\) vastagságú hőszigetelést kapott volna, a hőáramsűrűség:
\(\displaystyle j_3=\frac{25}{25\,d+1~\rm m}\,\lambda\left(T_1-T_2\right).\)
A kétféle megoldás akkor egyenértékű, ha a hőleadás (ugyanannyi idő és ugyanakkora hőmérséklet-különbség esetén) megegyezik:
\(\displaystyle \frac{3}{4}Aj_1+\frac{1}{4}Aj_2= Aj_3,\)
ami \(\displaystyle d=0{,}116~{\rm m}\approx 12~\rm cm\) mellett teljesül.
Statisztika:
13 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bokor Endre, Endrész Balázs, Fonyi Máté Sándor, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szabó 314 László, Téglás Panna, Varga Vázsony. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. márciusi fizika feladatai