Problem P. 5218. (March 2020)
P. 5218. At the origin of a Cartesian coordinate system there is a small ``point-like'' compass needle, pointing in the direction of the \(\displaystyle x\) axis. The equation of one of its magnetic field line is \(\displaystyle r=r_0\sin^2\varphi\), where \(\displaystyle r\) and \(\displaystyle \varphi\) are the polar coordinates of a point on the field line.
\(\displaystyle a)\) Write down the equation of the field line in terms of the \(\displaystyle x\) and \(\displaystyle y\) coordinates, if \(\displaystyle r_0=3\) metres.
\(\displaystyle b)\) At which points of the field line is the magnetic induction (magnetic flux density) perpendicular to the needle?
(6 pont)
Deadline expired on April 14, 2020.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
I. megoldás. \(\displaystyle a)\) Mivel a derékszögű koordinátákkal \(\displaystyle r\) és \(\displaystyle \sin\varphi\) így fejezhető ki:
\(\displaystyle r=\sqrt{x^2+y^2}; \qquad \sin\varphi=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}},\)
az erővonal egyenlete:
\(\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}=r_0\frac{y^2}{x^2+y^2},\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \left(x^2+y^2\right)^3=r_0^2\,y^4.\) |
\(\displaystyle b)\) A másneses indukcióvektorok az erővonalak érintője irányába mutatnak. Ha ez az irány az \(\displaystyle y\) tengellyel párhuzamos, akkor az erővonal két közeli pontjának \(\displaystyle x\) koordinátája jó közelítéssel megegyezik.
Fejezzük ki az \(\displaystyle x\) koordinátát a \(\displaystyle \varphi\) szög segítségével:
\(\displaystyle x(\varphi)=r\cos\varphi=r_0\sin^2\varphi\,\cos\varphi=r_0(\cos\varphi-\cos^3\varphi).\)
Látszik, hogy érdemes bevezetni a \(\displaystyle \xi\equiv\cos\varphi\) új változót (\(\displaystyle -1\le\xi\le1\)), ezzel kifejezve azt kapjuk, hogy az erővonal pontjaiban
\(\displaystyle x(\xi)=r_0\left(\xi-\xi^3\right).\)
A mágneses indukcióvektor azon pontban (pontokban) merőleges az \(\displaystyle x\) tengelyre, ahol a \(\displaystyle x(\xi)\) függvény egymáshoz nagyon közeli pontokban – jó közelítéssel – ugyanazt az értéket veszi fel:
\(\displaystyle x(\xi+\Delta\xi)\approx x(\xi),\)
vagyis
\(\displaystyle (\xi+\Delta\xi)-(\xi+\Delta\xi)^3\approx \xi- \xi^3.\)
Innen algebrai átalakítások után azt kapjuk, hogy
\(\displaystyle 3\xi^2 =1-3\xi(\Delta\xi)-(\Delta\xi)^2\approx 1, \qquad \text{vagyis}\qquad \xi=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
(A közelítés annál pontosabban teljesül, minél kisebb \(\displaystyle \Delta\xi\).)
Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt természetesen a differenciálszámítás formális szabályainak alkalmazásával is megkaphatjuk:
\(\displaystyle x(\xi)'=1-3\xi^2=0 \quad \Rightarrow \quad \xi=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
A mágneses indukcióvektor azon pontban (pontokban) merőleges az \(\displaystyle x\) tengelyre, ahol \(\displaystyle \cos\varphi=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\) Ez összesen 4 helyen teljesül:
\(\displaystyle \varphi=\pm 54{,}7^\circ, \qquad\text{vagy}\qquad \varphi=\pm 125{,}3^\circ.\)
Ezekben a pontokban
\(\displaystyle r= r_0\sin^2\varphi=r_0\left(1-\xi^2\right)=\frac{2}{3}r_0=2~\text{m}.\)
A megfelelő derékszögű koordináták:
\(\displaystyle x=r\cos\varphi =\pm \frac{2}{3\sqrt{3}}r_0\approx \pm1{,}15~\rm m, \)
\(\displaystyle y=r\sin\varphi=\pm \frac{2\sqrt{2}} {3\sqrt{3}}r_0\approx \pm1{,}63~\rm m. \)
Az \(\displaystyle r_0=3\) m-nek megfelelő mágneses erővonalakon tehát a mágneses indukcióvektor az ábrán látható \(\displaystyle P_1\), \(\displaystyle P_2\), \(\displaystyle P_3\) és \(\displaystyle P_4\) pontban merőleges a mágnestű irányára.
II. megoldás. Fejezzük ki az (1) képletből \(\displaystyle x\)-et \(\displaystyle y\) függvényében:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle x(y)=\sqrt{r_0^{\frac23} \,y^{\frac43}-y^2}.\) |
Ahol ennek a függvénynek a deriváltja nulla, ott lesz a mágneses indukcióvektor merőleges a mágnestűre (vagyis az \(\displaystyle x\) tengelyre). A derivált a differenciálszámítás szabályait követve, esetleg internetes segítséggel számítható ki:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle \frac{{\rm d}x}{{\rm d}y}= \frac{1}{2\sqrt{r_0^{\frac23} \,y^{\frac43}-y^2}} \left(r_0^{\frac23} \,y^{\frac13}\frac{4}{3}-2y \right)=0,\quad\text{vagyis ha}\quad y^2=\left(\frac23\right)^3r_0^2.\) |
Ezt (2)-be visszahelyettesítve
| \(\displaystyle (4)\) | \(\displaystyle x^2=\frac{1}{3} \left(\frac23r_0\right)^2\) |
adódik. (3)-t (4)-gyel elosztva az
\(\displaystyle \frac{y^2}{x^2}=\tg^2\varphi=2, \qquad \tg\varphi=\pm \sqrt{2},\quad \varphi=\pm 54{,}7^\circ \quad\text{vagy}\quad \varphi=\pm 125{,}3^\circ.\)
Ezeknek a szögeknek az \(\displaystyle r=\tfrac{2}{3}r_0=2~\)m-es távolság felel meg. A megfelelő derékszögű koordináták:
\(\displaystyle x= \pm \frac{2}{3\sqrt{3}}r_0\approx \pm1{,}15~{\rm m}\quad \text{és}\quad y=\pm \frac{2\sqrt{2}} {3\sqrt{3}}r_0\approx \pm1{,}63~\rm m. \)
III. megoldás. Számítógéppel kirajzoltatva az áramvonal (1)-nek megfelelő görbéjét (lásd az I. megoldás ábráját), arról – közelítőleg – leolvashatjuk a kérdéses pontok derékszögű koordinátáit.
IV. megoldás. \(\displaystyle c)\) Mágnességgel foglalkozó szakkönyvekben (pl. Budó Ágoston: Kísérleti fizika II. kötet 26. old.) megtalálható, hogy egy kis méretű (pontszerűnek tekinthető) mágneses dipólus indukcióvektora az \(\displaystyle \boldsymbol r\) helyen így adható meg:
\(\displaystyle {\boldsymbol B}(\boldsymbol r)=\text{állandó}\cdot \frac{3({\boldsymbol m}{\boldsymbol r}){\boldsymbol r}-{\boldsymbol m}\,r^2}{r^5},\)
ahol \(\displaystyle \boldsymbol m\) a dipólus irányába mutató egységvektor.
A mágneses indukció vektora azon a helyen lesz merőleges \(\displaystyle {\boldsymbol m}\)-re, ahol a \(\displaystyle {\boldsymbol B}{\boldsymbol m}\) skalárszorzat nulla, vagyis ahol
\(\displaystyle 3({\boldsymbol m}{\boldsymbol r})^2\equiv 3r^2\cos^2\varphi=r^2,\)
azaz
\(\displaystyle \cos\varphi=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}.\)
Ez \(\displaystyle \varphi=\pm 54{,}7^\circ\) és \(\displaystyle \varphi=\pm 125{,}3^\circ\)-nál teljesül, és ezeken a helyeken \(\displaystyle r=\tfrac23 \,r_0=2\) m, továbbá \(\displaystyle x=\pm 1{,}15~{\rm m}\), illetve \(\displaystyle y=\pm 1{,}63~{\rm m}\).
Statistics:
24 students sent a solution. 6 points: Békési Ábel, Bokor Endre, Fekete András Albert, Fiam Regina, Hamar Dávid, Kertész Balázs, Lê Minh Phúc, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Szabó 314 László, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony, Vass Bence, Viczián Anna. 5 points: Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hung Vo. 2 points: 2 students.
Problems in Physics of KöMaL, March 2020