 |
A P. 5226. feladat (2020. április) |
P. 5226. Két azonos keresztmetszetű, \(\displaystyle \ell_1\) és \(\displaystyle \ell_2\) hosszúságú, \(\displaystyle \lambda_1\) és \(\displaystyle \lambda_2\) hővezető-képességű fémrudat hőszigetelő borítással ellátva összeillesztünk úgy, hogy egyetlen \(\displaystyle \ell_1+\ell_2\) hosszúságú rudat alkossanak. A két végén \(\displaystyle T_1\) és \(\displaystyle T_2\) hőmérsékletet állítunk be.
\(\displaystyle a)\) Mennyi a rudak hőmérséklete ott, ahol érintkeznek?
\(\displaystyle b)\) Ábrázoljuk a hőmérséklet rúd menti eloszlását!
Adatok: \(\displaystyle \ell_1=65\) cm, \(\displaystyle \ell_2=40\) cm, \(\displaystyle \lambda_1=395~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle \lambda_2=76~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}\), \(\displaystyle T_1=30\;{}^\circ\)C, \(\displaystyle T_2=80\;{}^\circ\)C.
Közli: Wiedemann László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Jelöljük a rudak keresztmetszetét \(\displaystyle A\)-val, az érintkezési pont hőmérsékletét pedig \(\displaystyle T\)-vel. (Nyilván \(\displaystyle T_1<T<T_2\).) A Newton-féle hővezetési törvény szerint egy-egy rúdon egységnyi idő alatt átáramló hő: \(\displaystyle Q=A\lambda \Delta T/\ell\). Az érintkezési felületre ugyanannyi hő érkezik az egyik rúdból, mint amennyi távozik a másik rúd felé:
\(\displaystyle A\frac{\lambda_2}{\ell_2}\,(T_2-T)=A\frac{\lambda_1}{\ell_1}\,(T-T_1),\)
ahonnan a keresett hőmérséklet:
\(\displaystyle T=\frac{(\lambda_2/\ell_2)\,T_2+(\lambda_1/\ell_1)\,T_1}{(\lambda_1/\ell_1)+(\lambda_2/\ell_2)}\approx 42\,^\circ\rm C.\)
(Ez az érték a rúd végpontjainál mérhető hőmérsékletek súlyozott számtani közepe. A súlyfaktorok a megfelelő \(\displaystyle \lambda/\ell\) mennyiségek.)
\(\displaystyle b)\) Egy-egy rúd mentén a hőmérséklet lineárisan változik, hiszen a hőáram a rúd egyes részeinél ugyanakkora. Ennek megfelően a hőmérséklet-eloszlás a teljes rúd mentén:
Statisztika:
13 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Békési Ábel, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: Lévay Kristóf. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai