A P. 5226. feladat (2020. április)

P. 5226. Két azonos keresztmetszetű, $\displaystyle \ell_1$ és $\displaystyle \ell_2$ hosszúságú, $\displaystyle \lambda_1$ és $\displaystyle \lambda_2$ hővezető-képességű fémrudat hőszigetelő borítással ellátva összeillesztünk úgy, hogy egyetlen $\displaystyle \ell_1+\ell_2$ hosszúságú rudat alkossanak. A két végén $\displaystyle T_1$ és $\displaystyle T_2$ hőmérsékletet állítunk be.

$\displaystyle a)$ Mennyi a rudak hőmérséklete ott, ahol érintkeznek?

$\displaystyle b)$ Ábrázoljuk a hőmérséklet rúd menti eloszlását!

Adatok: $\displaystyle \ell_1=65$ cm, $\displaystyle \ell_2=40$ cm, $\displaystyle \lambda_1=395~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}$, $\displaystyle \lambda_2=76~\frac{\rm W}{\rm m\cdot K}$, $\displaystyle T_1=30\;{}^\circ$C, $\displaystyle T_2=80\;{}^\circ$C.

Közli: Wiedemann László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. május 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Jelöljük a rudak keresztmetszetét $\displaystyle A$-val, az érintkezési pont hőmérsékletét pedig $\displaystyle T$-vel. (Nyilván $\displaystyle T_1<T<T_2$.) A Newton-féle hővezetési törvény szerint egy-egy rúdon egységnyi idő alatt átáramló hő: $\displaystyle Q=A\lambda \Delta T/\ell$. Az érintkezési felületre ugyanannyi hő érkezik az egyik rúdból, mint amennyi távozik a másik rúd felé:

$\displaystyle A\frac{\lambda_2}{\ell_2}\,(T_2-T)=A\frac{\lambda_1}{\ell_1}\,(T-T_1),$

ahonnan a keresett hőmérséklet:

$\displaystyle T=\frac{(\lambda_2/\ell_2)\,T_2+(\lambda_1/\ell_1)\,T_1}{(\lambda_1/\ell_1)+(\lambda_2/\ell_2)}\approx 42\,^\circ\rm C.$

(Ez az érték a rúd végpontjainál mérhető hőmérsékletek súlyozott számtani közepe. A súlyfaktorok a megfelelő $\displaystyle \lambda/\ell$ mennyiségek.)

$\displaystyle b)$ Egy-egy rúd mentén a hőmérséklet lineárisan változik, hiszen a hőáram a rúd egyes részeinél ugyanakkora. Ennek megfelően a hőmérséklet-eloszlás a teljes rúd mentén:

Statisztika:

13 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Ludányi Levente, Nguyễn Đức Anh Quân, Somlán Gellért, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Lévay Kristóf.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. áprilisi fizika feladatai