A P. 5245. feladat (2020. szeptember)

P. 5245. Teherszállító repülőgép halad az Egyenlítő felett 11 km magasan 1000 km/h sebességgel, először nyugati, majd keleti irányban. A repülőtéren hitelesített rugós mérleg segítségével mindkét alkalommal megmérik a gépben egy, a fedélzeten lévő nehéz tárgy tömegét. A két mért érték között 1 kg a különbség. Mekkora a tárgy valódi tömege?

Közli: Simon Péter, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. október 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Jelöljük a repülőgép körpályájának sugarát (vagyis az Egyenlítő sugarának és a repülési magasságnak az összegét) \(\displaystyle r\)-rel, a test tényleges tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a Föld forgási szögsebességét \(\displaystyle \omega\)-val, a repülőgép (Földhöz viszonyított) sebességét pedig \(\displaystyle v\)-vel.

A repülőgéppel együtt mozgó test sebessége (az inerciarendszerből nézve) \(\displaystyle r\omega\pm v\) (az előjel a repülés irányától függ). A test mozgásegyenlete:

\(\displaystyle \gamma\frac{Mm}{r^2}-G_1=m\frac{(r\omega +v)^2}{r},\)

illetve

\(\displaystyle \gamma\frac{Mm}{r^2}-G_2=m\frac{(r\omega- v)^2}{r},\)

ahol \(\displaystyle G_1\) a kelet felé tartó repülőn, \(\displaystyle G_2\) pedig a nyugat felé tartó repülőn a rugós mérleg által kifejtett erő, vagyis a test mért súlya. A fenti egyenleteket egymásból kivonva kapjuk, hogy

\(\displaystyle G_2-G_1=4mv\omega.\)

Ez az erő a Föld felszínén nyugvó, \(\displaystyle \Delta m=1~\rm kg\) tömegű test súlyával egyezik meg, tehát a test tényleges tömege:

\(\displaystyle m= \frac{g}{4v\omega}\cdot (1~{\rm kg})=\frac{9{,}81}{4\cdot \frac{1000}{3{,}6} \cdot \frac{2\pi}{24\cdot 3600}}\,{\rm kg}\approx 120\,{\rm kg}.\)

A fenti képlet nem tartalmazza \(\displaystyle r\)-t, tehát a számolás tetszőleges magasságban mozgó szállítóeszközre, akár egy űrállomásra is érvényes lenne.

II. megoldás. Írjuk le a helyzetet a Földhöz rögzített, tehát forgó koordináta-rendszerből. Az \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) szögsebességgel forgó rendszerben \(\displaystyle \boldsymbol v\) sebességgel mozgó, \(\displaystyle m\) tömegű testre ,,tehetetlenségi erők'' is hatnak: a sebesség négyzetével arányos centrifugális erő és az

\(\displaystyle \boldsymbol F=2m\boldsymbol\omega\times \boldsymbol v\)

összefüggésből számítható Coriolis-erő. Ezek az erők hozzáadódnak a Föld által kifejtett gravitációs erőhöz és a Földhöz képest nem mozgó testre is ható centrifugális erőhöz. A kétféle mozgásirányhoz tartozó súlyok különbsége éppen a Coriolis-erő kétszerese. Mivel az Egyenlítő felett mozgó repülő esetében \(\displaystyle \boldsymbol v\) és \(\displaystyle \boldsymbol \omega\) egymásra merőleges vektorok, a súlykülönbség

\(\displaystyle G_2-G_1=2\vert \boldsymbol F \vert =4mv\omega=(1~{\rm kg})\cdot g,\)

ahonnan

\(\displaystyle m= \frac{g}{4v\omega}\cdot (1~{\rm kg})\approx 120\,{\rm kg}.\)

Megjegyzés. A feladatban leírt jelenséget Eötvös-effektusnak nevezik; lásd még Eötvös Loránd: Kísérleti kimutatása annak a nehézségi változásnak, amelyet valamely, a szabályos alakúnak felvett földfelületen keleti vagy nyugati irányban mozgó test e mozgás által szenved. Matematikai és Természettudományi Értesítő, XXXVII., 1., 1-28. 1920.

Statisztika:

52 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Albert Máté, Antalóczy Szabolcs, Barna Benedek, Bohács Tamás, Dékány Csaba, Dobre Zsombor, Dóra Márton, Gárdonyi Soma Ákos, Gurzó József, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Klepáček László, Koleszár Benedek, Kovács Kinga, Krizbai Zsolt, Kürti Gergely, Lovas Márton, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Molnár 123 Barnabás, Mozolai Bende Bruno, Mucsi Viktor, Pogány Balázs, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Seres-Szabó Márton, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Tuba Balázs.
3 pontot kapott:	Bodor 001 Bence Ádám, Bonifert Balázs, Brilli Fabiano, Czehlár Gergely, Egyházi Hanna, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Jakovác Márton , Kondor Botond Dávid, Köpenczei Csanád, Perényi Barnabás, Ruzsa Bence, Szabó Márton.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. szeptemberi fizika feladatai