A P. 5254. feladat (2020. október)

P. 5254. Egy mól normál állapotú levegőt izotermikusan összenyomunk eredeti térfogatának felére, majd adiabatikusan kitágítjuk eredeti térfogatára.

$\displaystyle a)$ Mekkora a folyamat során a gázon végzett összes munka?

$\displaystyle b)$ Mennyi a gáz által leadott összes hő?

$\displaystyle c)$ Mennyi a belső energia változása?

$\displaystyle d)$ Mekkora a gáz végső hőmérséklete?

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A folyamat a $\displaystyle p-V$ diagramon az ábrán látható módon szemléltethető.

A megoldás során felhasználjuk a hőtan I. főtételét:

$\displaystyle Q+W=\Delta E,$

ahol $\displaystyle Q$ a gáz által felvett hő, $\displaystyle W$ a gázon végzett munka, $\displaystyle \Delta E$ pedig a belső energia megváltozása, valamint a

$\displaystyle pV=nRT \qquad \text{és}\qquad E=\frac{f}{2}nRT=\frac{f}{2}pV$

állapotegyenleteket.

Esetünkben (normál állapotú levegőre) $\displaystyle n=1$ és $\displaystyle f=5$, a fajhőhányados $\displaystyle \kappa=\frac{f+2}{f}=1{,}4$, továbbá

$\displaystyle p_0V_0=nRT_0=1~\text{mol}\cdot 8{,}31~\frac{\rm J}{\rm mol\,K}\cdot 273{,}1 ~{\rm K}=2{,}27~\rm kJ.$

Az $\displaystyle A\rightarrow B$ folyamat izotermikus, így $\displaystyle \Delta E=0$, továbbá ebben a folyamatban a gázon végzett munka (lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatok 140. oldalát)

$\displaystyle W_{A\rightarrow B}=\ln 2\, p_0V_0=1{,}57~\rm kJ.$

A gáz által felvett hő:

$\displaystyle Q_{A\rightarrow B}=-W_{A\rightarrow B}=-1{,}57~\rm kJ,$

vagyis a gáz 1,57 kJ hőt ad le.

A $\displaystyle B\rightarrow C$ folyamat adiabatikus, tehát $\displaystyle Q_{B\rightarrow C}$. Az adiabatikus állapotegyenlet szerint

$\displaystyle pV^\kappa=\text{állandó}=2p_0\left(\frac{V_0}2\right)^\kappa,$

tehát

$\displaystyle p_C=p_02^{ -0{,}4}=0{,}758~p_0.$

A belső energia megváltozása ebben a részfolyamatban:

$\displaystyle \Delta E_{B\rightarrow C}=E_C-E_B=\frac{5}{2}\left(p_CV_0- p_0V_0)\right)=\frac{5}{2}p_0V_0\left(2^{-0{,}4}-1\right)=-0{,}605\,p_0V_0=-1{,}37~\rm kJ,$

és ugyanennyi a gázon végzett munka:

$\displaystyle W_{B\rightarrow C}=-1{,}37~\rm kJ.$

$\displaystyle a)$ A gázon végzett összes munka:

$\displaystyle W_{A\rightarrow B\rightarrow C}=W_{A\rightarrow B}+W_{B\rightarrow C}=0{,}20~\rm kJ.$

$\displaystyle b)$ A gáz által leadott összes hő:

$\displaystyle Q^{(\rm leadott)}=-Q_{A\rightarrow B}=1{,}57~\rm kJ.$

$\displaystyle c)$ A belső energia változása a folyamatban:

$\displaystyle \Delta E_{A\rightarrow B\rightarrow C}=E_C-E_A=\frac{5}{2}\left(p_CV_0- p_0V_0\right)=\frac{5}{2}p_0V_0\left(2^{-0{,}4}-1 \right)=-1{,}37~\rm kJ.$

$\displaystyle d)$ A végállapot hőmérséklete a

$\displaystyle p_CV_0=nRT_C$

állapotegyenletből számítható ki:

$\displaystyle T_C=\frac{0{,}758~p_0 V_0}{nR}=0{,}758\,T_0=0{,}758\cdot 273~{\rm K}=207~{\rm K}=-66~^\circ\rm C.$

Statisztika:

57 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Zsolt, Dóra Márton, Fonyi Máté Sándor, Koleszár Benedek, Koszta Benedek, Könye Sólyom, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Németh Kristóf, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Bagu Bálint, Fekete András Albert, Gurzó József, Hegymegi Balázs, Horváth 999 Anikó, Mozolai Bende Bruno, Nagy Bianka , Nemeskéri Dániel, Páhán Anita Dalma, Sallai Péter, Szabó Ákos, Szoboszlai Szilveszter, Török 111 László.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai