 |
A P. 5256. feladat (2020. október) |
P. 5256. Hogyan változik meg egy síkkondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetek közötti térrész két felét két különböző dielektromos állandójú, homogén, elektromosan szigetelő anyaggal töltjük ki, és a két réteget elválasztó felület
\(\displaystyle a)\) a fegyverzetekre merőleges sík;
\(\displaystyle b)\) a fegyverzetekkel párhuzamos sík?
Közli: Wiedemann László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a két különböző anyag relatív dielektromos állandója \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(1)}\) és \(\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(2)}\), a kondenzátorral azonos méretű, de ,,üres'' (tehát a lemezek között szigetelő anyagot nem tartalmazó) kondenzátor kapacitása \(\displaystyle C\).
\(\displaystyle a)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekre merőlegesen két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle \frac12C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk
\(\displaystyle C_1=\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \frac{C}{2}, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=\varepsilon_\text{rel}^{(2)} \frac{C}{2}\)
lesz. Ezen kondenzátorok párhuzamos kapcsolású eredője
\(\displaystyle C_{(a)}=C_1+C_2=\frac{ \varepsilon_\text{rel}^{(1)}+\varepsilon_\text{rel}^{(2)}}{2}\,C.\)
A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók számtani közepének megfelelő arányban növekszik.
\(\displaystyle b)\) Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekkel párhuzamosan két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása \(\displaystyle 2C\) lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk
\(\displaystyle C_1=2\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \,C, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=2\varepsilon_\text{rel}^{(2)}\,C\)
lesz. Ezen kondenzátorok soros kapcsolású eredője:
\(\displaystyle C_{(b)}=\frac{C_1 C_2}{C_1+ C_2} =\frac {2\varepsilon_\text{rel}^{(1)}\cdot \varepsilon_\text{rel}^2}{\varepsilon_\text{rel}^{(1)}+ \varepsilon_\text{rel}^2}\,C.\)
A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók harmonikus közepének megfelelő arányban növekszik.
Tekintve, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép, állíthatjuk, hogy \(\displaystyle C_{(b)}\le C_{(a)}\).
Statisztika:
35 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bubics Gergely Dániel, Gurzó József, Juhász Júlia, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel. 3 pontot kapott: Beke Bálint, Csonka Illés, Fonyi Máté Sándor, Gál Virág , Hauber Henrik, Papp Marcell Miklós, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Szirmai Dénes. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai