A P. 5256. feladat (2020. október)

P. 5256. Hogyan változik meg egy síkkondenzátor kapacitása, ha a fegyverzetek közötti térrész két felét két különböző dielektromos állandójú, homogén, elektromosan szigetelő anyaggal töltjük ki, és a két réteget elválasztó felület

$\displaystyle a)$ a fegyverzetekre merőleges sík;

$\displaystyle b)$ a fegyverzetekkel párhuzamos sík?

Közli: Wiedemann László, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a két különböző anyag relatív dielektromos állandója $\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(1)}$ és $\displaystyle \varepsilon_\text{rel}^{(2)}$, a kondenzátorral azonos méretű, de ,,üres'' (tehát a lemezek között szigetelő anyagot nem tartalmazó) kondenzátor kapacitása $\displaystyle C$.

$\displaystyle a)$ Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekre merőlegesen két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása $\displaystyle \frac12C$ lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

$\displaystyle C_1=\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \frac{C}{2}, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=\varepsilon_\text{rel}^{(2)} \frac{C}{2}$

lesz. Ezen kondenzátorok párhuzamos kapcsolású eredője

$\displaystyle C_{(a)}=C_1+C_2=\frac{ \varepsilon_\text{rel}^{(1)}+\varepsilon_\text{rel}^{(2)}}{2}\,C.$

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók számtani közepének megfelelő arányban növekszik.

$\displaystyle b)$ Ha az eredeti kondenzátort a fegyverzetekkel párhuzamosan két egyforma részre vágjuk fel, az egyes részek kapacitása $\displaystyle 2C$ lesz, és ha ezeket a részeket különböző tulajdonságú szigetelő anyaggal töltjük ki, a kapacitásuk

$\displaystyle C_1=2\varepsilon_\text{rel}^{(1)} \,C, \qquad\text{illetve} \qquad C_2=2\varepsilon_\text{rel}^{(2)}\,C$

lesz. Ezen kondenzátorok soros kapcsolású eredője:

$\displaystyle C_{(b)}=\frac{C_1 C_2}{C_1+ C_2} =\frac {2\varepsilon_\text{rel}^{(1)}\cdot \varepsilon_\text{rel}^2}{\varepsilon_\text{rel}^{(1)}+ \varepsilon_\text{rel}^2}\,C.$

A kapacitás tehát az eredeti értékhez képest a relatív dielektromos állandók harmonikus közepének megfelelő arányban növekszik.

Tekintve, hogy a harmonikus közép kisebb vagy egyenlő, mint a számtani közép, állíthatjuk, hogy $\displaystyle C_{(b)}\le C_{(a)}$.

Statisztika:

35 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bubics Gergely Dániel, Gurzó József, Juhász Júlia, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel.
3 pontot kapott:	Beke Bálint, Csonka Illés, Fonyi Máté Sándor, Gál Virág , Hauber Henrik, Papp Marcell Miklós, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Szirmai Dénes.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai