 |
A P. 5258. feladat (2020. október) |
P. 5258. Gyűjtőlencsével szeretnénk egy lámpa izzószáláról éles képet előállítani pontosan a lámpa alatt, az asztalon fekvő fehér lapon. Legalább hány dioptriás lencsére lesz szükségünk, ha az izzószál az asztal fölött 40 cm-re van?
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.
I. megoldás. Ha a távolságokat méterben mérjük, akkor
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=D,\qquad \text{azaz}\qquad \frac{d}{kt}=D,\)
ahol \(\displaystyle d=k+t\) és \(\displaystyle D\) a lencse dioptriája. Mivel \(\displaystyle d\) adott, a számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint \(\displaystyle kt\) akkor a legnagyobb, amikor
\(\displaystyle k=t=d/2,\qquad \text{tehát}\qquad D_{\rm min}=\frac{4}{d} =10~\rm m^{-1}.\)
II. megoldás. A leképezési törvény szerint
\(\displaystyle \frac{1}{t}+\frac{1}{k}=\frac{1}{f},\)
vagyis
\(\displaystyle t=\frac{kf}{k-f}.\)
Tudjuk, hogy (a távolságokat méter egységekben mérve)
\(\displaystyle t+k\equiv\frac{k^2}{k-f}=0{,}4.\)
Ismertnek feltételezve az \(\displaystyle f\) fókuszttávolságot, a \(\displaystyle k\) képtávolságot a
\(\displaystyle k^2-0{,}4\,k+0{,}4\,f=0\)
másodfokú egyenlet gyökeként kaphatjuk meg. Ilyen (valós) gyök csak akkor létezik, ha az egyenlet diszkriminánsa nem negatív:
\(\displaystyle 0{,}4^2\ge4\cdot 0{,}4\,f,\)
vagyis
\(\displaystyle f\le \frac{1}{10}, \qquad \text{tehát}\qquad D=\frac{1}{f}\ge 10.\)
Ezek szerint a lencse legalább 10 dioptriás kell legyen.
Statisztika:
43 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Barta Gergely, Bognár 171 András Károly, Dóra Márton, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 221 Zsóka, Korom Lili, Ludányi Levente, Páhán Anita Dalma, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szoboszlai Szilveszter, Takács Dóra, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: Bonifert Balázs, Klepáček László, Kovács Kinga, Répási Tamás, Szabó Márton, Tanner Norman. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 15 versenyző.
A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai