A P. 5260. feladat (2020. október)

P. 5260. Vízszintes tengelyű, rögzített hengeren súrlódó fonalat vetünk át. Ha a fonál bal oldali végére \(\displaystyle m\) tömegű nehezéket, a jobb oldalira pedig \(\displaystyle 3m\) tömegűt akasztunk, akkor az álló helyzetből elengedett testek 2 m/s\(\displaystyle {}^2\) nagyságú gyorsulással mozognak.

\(\displaystyle a)\) Mekkora gyorsulással mozognak a testek, ha mindkét oldalon először megduplázzuk, majd megháromszorozzuk a tömegüket?

\(\displaystyle b)\) Mekkora gyorsulással mozognak a testek, ha a jobb oldalon meghagyjuk a \(\displaystyle 3m\) nagyságú tömeget, de a bal oldali fonálvégre \(\displaystyle 8m\) tömegű testet akasztunk?

\(\displaystyle c)\) Hogyan válasszuk meg a bal oldali fonálvégre akasztott test tömegét, miközben a jobb oldalon megmarad a \(\displaystyle 3m\) tömeg, hogy elengedés után a rendszer nyugalomban maradjon?

A fonál nagyon könnyű, továbbá a fonál és a henger közötti csúszási súrlódás együtthatója megegyezik a tapadási súrlódás együtthatójával.

Közli: Honyek Gyula, Veresegyház

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. november 16-án LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a testek tömegét megduplázzuk, akkor a helyzet olyan, mintha egymás mellett két azonos rendszer lenne, ha pedig háromszorosra növeljük a tömegeket, akkor három egymás melletti összeállításnak feleltethető meg a helyzet. Ebből az következik, hogy a testek gyorsulása ugyanakkora marad (2 m/s\(\displaystyle ^2\)), nem függ a tömegek nagyságától, hanem csak azok arányától.

\(\displaystyle b)\) Tovább folytatva a fenti gondolatmenetet, azt is megállapíthatjuk, hogy adott tömegarány esetén a fonáldarabokban ébredő erő, illetve a fonál és a henger közötti súrlódási erő aránya is állandó marad. Ezt a következő módon láthatjuk be: A fonál a rögzített hengerhez szorul, és emiatt súrlódik. A fonálban lévő feszítettség folytonosan változik, az egyes fonáldarabkák nem ugyanúgy szorulnak a csigához. Az egyes fonáldarabkákra ható súrlódási erő járulékok összeadódnak, és ezek eredményezik a teljes súrlódási erőt, ami a két oldalon megjelenő fonálerők különbsége (hiszen a fonál súlytalan). Ha az egyik oldalon valamiért megnő az erő, akkor a másik oldalon is meg kell növekednie.

Felmerül a kérdés, hogy mi a kapcsolat a kétoldali fonálerő között. Azt a gondolatot el kell vetnünk, hogy a két erő különbsége állandó, mivel nagyobb erők esetén a fonál jobban hozzászorul a rögzített hengerhez. Mivel a súrlódási erőt (súrlódási együttható szorozva a nyomóerővel) lineáris erőtörvény határozza meg, illetve a newtoni mechanikában érvényesül a szuperpozíció elve, ezért azt állapíthatjuk meg, hogy ahányszorosára növekszik az egyik oldalon a fonálerő, annyiszorosára nő a fonálerő a másik oldalon. Ezt úgy is kiokoskodhatjuk, hogy a nagyobb fonálerőt úgy képzeljük el, mintha egymás mellé fektetnénk – párhuzamosan – ugyanolyan fonalakat, ugyanakkora feszítettséggel. (Ilyen gondolattal találkozhatunk az egymással párhuzamosan kapcsolt rugók esetében is.)

Számítsuk ki a fonálerőket a kiinduló helyzetben (az egyszerűség kedvéért \(\displaystyle g\approx 10~ \rm m/s^2\)-tel számolva).

A bal oldalon

\(\displaystyle K_\text{bal}-mg=ma, \qquad\rightarrow\qquad K_\text{bal}=m(g+a)=m(12~\rm m/s^2 ).\)

\(\displaystyle 3mg-K_\text{jobb} =3ma, \qquad\rightarrow\qquad K_\text{jobb}=3m(g-a)=m(24~\rm m/s^2 ).\)

A jobb oldali fonálerő tehát éppen a kétszerese a bal oldalinak (függetlenül attól, hogy mekkorák a tömegek). Megállapíthatjuk tehát, hogy a henger két oldalán a fonálerők aránya mindig 2, és azon az oldalon nagyobb az erő, ahol lefelé gyorsul a test. Mindezek alapján a következő két egyenletet írhatjuk fel, amikor \(\displaystyle 8m\) és \(\displaystyle 3m\) tömegeket rögzítettünk a két fonáldarabra. A bal oldalra:

\(\displaystyle 8mg-2K=\,8ma,\)

illetve a jobb oldalra:

\(\displaystyle K-3mg=3\,ma.\)

Ha az első egyenlethez hozzáadjuk a második egyenlet kétszeresét, akkor a fonálerők kiesnek, és a következő eredményre juthatunk:

\(\displaystyle 2mg=14\,ma, \qquad\rightarrow\qquad a=\frac17 g=\frac{10}7~ \rm m/s^2 .\)

\(\displaystyle c)\) Kihasználjuk, hogy a csúszási és a tapadási súrlódási együttható megegyezik. Ha a testek nem mozognak, akkor a fonálerők megegyeznek a testekre ható nehézségi erők nagyságával. Határesetben a két oldalon a fonálerők aránya vagy 2, vagy 1/2. Ennek megfelelően akkor marad nyugalomban a rendszer, ha a bal oldalra akasztott \(\displaystyle m_\text{bal}\) tömegre a következő egyenlőtlenség teljesül:

\(\displaystyle \frac32 m<m_\text{bal}<6m.\)

Egyenlőség esetén az egyensúly instabil, tehát a legkisebb zavar esetén megindulnak a testek, és a továbbiakban egyenletesen mozognak.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Fekete András Albert, Kertész Balázs, Toronyi András, Varga Vázsony.
5 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Fonyi Máté Sándor, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. októberi fizika feladatai