A P. 5262. feladat (2020. november)

P. 5262. Forma 1-es pilóták olyan versenyen vesznek részt, ahol nem a legnagyobb sebességgel lehet eredményesen szerepelni. Egy kijelölt, \(\displaystyle d = 1250\) m hosszúságú távolságot állandó sebességgel kell megtenni, majd mindenkinek \(\displaystyle a = 2~\mathrm{m/s}^2\) lassulással kell megállni. Az győz, aki az indulástól számítva a legrövidebb idő alatt áll meg.

\(\displaystyle a)\) Mekkora sebességgel kell haladnia az állandó sebességű szakaszon a győztes pilótának, ha a lehető legrövidebb idő alatt akar megállni?

\(\displaystyle b)\) Mekkora utat tesz meg ekkor az indulástól a megállásig?

Közli: Kotek László, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2020. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Állandó \(\displaystyle v\) sebességgel \(\displaystyle d\) hosszúságú utat

\(\displaystyle t_1=\frac{d}{v}\)

idő alatt tesz meg egy autó. \(\displaystyle v\) sebességről \(\displaystyle a\) lassulással

\(\displaystyle t_2=\frac{a}{v}\)

idő alatt tud megállni. A teljes időtartam (a számtani és a mértani középre vonatkozó egyenlőtlenség szerint)

\(\displaystyle T=t_1+t_2=\frac{d}{v}+\frac{v}{a}\ge 2\sqrt{\frac{d}{v}\cdot\frac{v}{a}}=2\sqrt{\frac{d}{a}}=50~\rm s.\)

Optimális esetben \(\displaystyle t_1=t_2=25~\rm s\), vagyis

\(\displaystyle \frac{d}{v}=\frac{v}{a}, \qquad \text{azaz}\qquad v=\sqrt{ad}=50~\frac{\rm m}{\rm s}=180~\frac{\rm km}{\rm h}.\)

\(\displaystyle b)\) A teljes út hossza a legjobb sebességválasztás esetén

\(\displaystyle s=vt_1+\frac{a}{2}t_2^2=1250~{\rm m}+625~{\rm m}=1875~{\rm m}.\)

Statisztika:

102 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	69 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2020. novemberi fizika feladatai