A P. 5264. feladat (2020. november)

P. 5264. Egy versenyautó 60 m sugarú, kör alakú tesztpályán álló helyzetből indul. Érintőleges gyorsulása a mozgás első négy másodpercében állandó, nagysága $\displaystyle 6~\mathrm{m/s}^2$.

$\displaystyle a)$ Határozzuk meg és ábrázoljuk vázlatosan az idő függvényében, hogy mekkora szögsebességgel forog az autó gyorsulásvektora a menetirányhoz képest!

$\displaystyle b)$ Mennyi idő múlva lesz ez a szögsebesség a legnagyobb? Mekkora lesz ez a maximális szögsebesség?

Közli: Szabó Endre, Vágfüzes, Szlovákia

(5 pont)

A beküldési határidő 2020. december 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. $\displaystyle a)$ SI-egységeket használva:

– az autó érintőleges gyorsulása $\displaystyle a_1=6$;

– a pálya sugara: $\displaystyle r=60$;

– az autó sebessége $\displaystyle t$ idő elteltével $\displaystyle v=a_1t=6t$;

– az autó centripetális gyorsulása: $\displaystyle a_2=\frac{v^2}{r}=0{,}6\,t^2$. Az autó gyorsulásvektora a kör érintőjével

$\displaystyle \alpha(t)=\arctg\frac{a_2}{a_1}=\arctg(0{,}1\,t^2)$

szöget zár be. Ennek a szögnek az egységnyi időre vonatkozó megváltozása a keresett

$\displaystyle \omega(t)= \frac{\Delta\alpha}{\Delta t}$

szögsebesség.

Számítsuk ki, hogy mennyit változik $\displaystyle \tg\alpha$ egy kicsiny $\displaystyle \Delta t$ idő alatt, ha eközben az $\displaystyle \alpha$ szög $\displaystyle \Delta\alpha$-val nagyobb lesz. Mivel $\displaystyle \tg\alpha=0{,}1\,t^2$, fennáll, hogy

$\displaystyle \tg(\alpha+\Delta\alpha)-\tg\alpha=0{,}1 (t+\Delta t)^2-0{,}1 t^2.$

Kicsiny változások esetén érvényes

$\displaystyle \tg(\Delta\alpha)\approx \Delta\alpha\qquad \text{és}\qquad \Delta t\ll t.$

Trigonometriai és algebrai átalakítások után kapjuk, hogy ebben a közelítésben

$\displaystyle \frac{\tg\alpha+\Delta\alpha}{1-\Delta\alpha\cdot \tg\alpha}-\tg\alpha=0{,}2t\,\Delta t+0{,}1(\Delta t)^2,$

azaz

$\displaystyle \Delta\alpha\left(1+\tg^2\alpha\right)=\Delta t(0{,}2t+0{,}1t\,\Delta t)(1-\Delta\alpha\,\tg\alpha).$

Innen kapjuk, hogy a keresett szögsebesség:

$\displaystyle \omega(t)\approx \frac{\Delta\alpha}{\Delta t}= \frac{0{,}2\,t+0{,}1\Delta t}{1+\tg^2\alpha} (1-\Delta\alpha\cdot\tg\alpha) =\frac{0{,}2\,t}{1+0{,}01\,t^4}.$

Ha ábrázoljuk az $\displaystyle \omega(t)$ függvényt, a grafikonról leolvashatjuk, hogy a szögsebességnek $\displaystyle t=2{,}4$ s közelében maximuma van, és hogy a szögsebesség legnagyobb értéke $\displaystyle \omega_\text{max}=0{,}36\, \rm s^{-1}$.

Megjegytés. $\displaystyle \omega(t)$ szélsőértékét deriválással is meghatározhatjuk: A differenciálhányados $\displaystyle t_0=\sqrt[4]{100/3} \approx 2{,}4\ {\rm s}$ idő elteltével lesz nulla, és $\displaystyle \omega_\text{max}=\omega(t_0)\approx 0{,}36\,\rm s^{-1}$.

II. megoldás. A feladat elemi úton (a differenciálszámítás felhasználása nélkül) is megoldható. Az autó inerciarendszerbeli $\displaystyle \boldsymbol a$ gyorsulásvektora az autóhoz rögzített (tehát egyenletes gyorsuló szögsebességgel forgó) $\displaystyle (X,Y)$ koordináta-rendszerben $\displaystyle \boldsymbol a=(a_1, a_2)$ módon adható meg (1. ábra), ahol – az I. megoldás elején leírtaknak megfelelően

$\displaystyle a_1= 6 \qquad \text{és}\qquad a_2=0{,}6\,t^2.$

1. ábra

A továbbiakban a gyorsulásvektort $\displaystyle \boldsymbol R$-rel, ezen vektor változási sebességét $\displaystyle \boldsymbol V$-rel, ez utóbbi változási sebességét (vagyis a $\displaystyle \boldsymbol R$ gyorsulását) $\displaystyle \boldsymbol A$-val fogjuk jelölni. (Az átjelölés oka: el akarjuk kerülni a $\displaystyle \boldsymbol V$ vektornak és az autó $\displaystyle \boldsymbol v$ sebességvektorának, valamint $\displaystyle \boldsymbol A$-nak és $\displaystyle \boldsymbol a$-nak esetleges összetévesztését.) Ennek megfelelően írhatjuk, hogy

$\displaystyle R_1= 6, \qquad R_2=0{,}6\,t^2.$

Ráismerhetünk, hogy ezek éppen egy olyan test koordinátái, amely az $\displaystyle Y$ tengely irányában egyenletesen gyorsuló mozgást végez $\displaystyle 1{,}2$ nagyságú gyorsulással. Így tehát

$\displaystyle V_1= 0, \qquad V_2=1{,}2\,t,$

és

$\displaystyle A_1= 0, \qquad A_2=1{,}2.$

Az $\displaystyle \boldsymbol R$ vektor nagyságát jelölje $\displaystyle R$, az autó haladási irányával (vagyis az $\displaystyle X$ tengellyel) bezárt szöge pedig legyen $\displaystyle \alpha$. Ennek megfelelően

továbbá

és

$\displaystyle \sin\alpha=\frac{R_2}{R}=\frac{0{,}1\,t^2}{\sqrt{1+0{,}01\,t^4}.}$

a) A $\displaystyle \boldsymbol V$ vektort nemcsak az $\displaystyle X,Y$ koordinátákkal, hanem $\displaystyle \boldsymbol R$ irányú $\displaystyle V_\text{rad}$ ,,radiális'' és arra merőleges $\displaystyle V_\text{tan}$ ,,tangenciális'' komponensekkel is jellemezhetjük (2. ábra).

2. ábra

Az ábráról leolvashatjuk, hogy

$\displaystyle V_\text{rad}=V_2\sin\alpha={1{,}2\,t}\, \frac{0{,}1\,t^2}{\sqrt{1+0{,}01\,t^4}}=\frac{0{,}12\,t^3}{\sqrt{1+0{,}01\,t^4}},$

valamint

tehát a kérdéses szögsebesség:

b) A fentebb leírtakhoz hasonlóan járhatunk el az $\displaystyle \boldsymbol A$ vektorral is (3. ábra).

3. ábra

Itt azonban figyelembe kell vegyük, hogy a radiális és a tangenciális komponensek, valamint az $\displaystyle (A_1,A_2)$ komponensek közötti kapcsolat a forgásból származó extra tagokat is tartalmaz:

$\displaystyle A_\text{rad}= \frac{\Delta V_\text{rad}}{\Delta t}-R\omega^2,$

ahol a jobb oldal második tagja a centripetális gyorsulás, valamint

ahol a jobb oldal második tagja a Coriolis-gyorsulás.

Megjegyzás. Egy $\displaystyle m$ tömegű test forgó koordináta-rendszerbeli mozgásegyenletében a centrifugális erő a centripetális gyorsulás $\displaystyle (-m)$-szerese, a Coriolis-erő pedig a Coriolis-gyorsulás $\displaystyle (-m)$-szerese. (Lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a tehetetlenségi erők képleteit.)

Abban a $\displaystyle t_0$ pillanatban, amikor az $\displaystyle \omega$ szögsebesség a legnagyobb, a $\displaystyle \beta$ szöggyorsulás nulla, így (1-5) egyenletekből következően

$\displaystyle A_2\,\cos\alpha=2V_\text{rad}\,\omega,$

azaz

$\displaystyle {1{,}2}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+0{,}01\,t_0^4}}=2\cdot\frac{0{,}12\,t_0^3}{\sqrt{1+0{,}01\,t_0^4}}\cdot\frac{0{,}2\,t_0 }{\ 1+0{,}01\,t_0^4} .$

Innen

$\displaystyle 0{,}04\,t_0^4=1+0{,}01\,t_0^4,\qquad \text{azaz}\qquad t_0=\root 4 \of {\frac{1}{0{,03}}}\approx 2{,}4\ \rm [s],$

a szögesbesség legnagyobb értéke pedig

$\displaystyle \omega_\text{max}=\omega(t_0)=\frac{3}{20}\root 4 \of {\frac{100}{3}}\approx 0{,}36\ \left[\rm s^{-1}\right].$

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Németh Kristóf, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Simon László Bence, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Koleszár Benedek, Köpenczei Csanád, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Molnár 123 Barnabás, Toronyi András.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi fizika feladatai