A P. 5271. feladat (2020. november)

P. 5271. Egy pontszerű test az ábrán látható kétféle útvonalon juthat el az $\displaystyle A$ pontból az $\displaystyle \ell$ távolságban lévő $\displaystyle B$ pontig. Az $\displaystyle a)$ esetben a test vízszintes egyenes pályán mozog, a $\displaystyle b)$ esetben pedig egy függőleges síkban elhelyezkedő, $\displaystyle h$ mélységű körív mentén. Mindkét mozgás kezdősebessége $\displaystyle v_0$. Melyik mozgás tart hosszabb ideig? (A súrlódás és a légellenállás elhanyagolható.)

Adatok: $\displaystyle v_0=1$ m/s, $\displaystyle \ell=1$ m, $\displaystyle h=2{,}5$ cm.

Közli: Berke Martin, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2020. december 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Az $\displaystyle a)$ esetben a mozgás egyenletes, az időtartama nyilván 1 s.

A $\displaystyle b)$ esetben a test hosszabb utat tesz meg, de (a nehézségi erő gyorsító hatása miatt) az átlagsebessége is nagyobb, így a mozgás idejének kiszámítása további megfontolásokat igényel.

A geometriai adatokból kiszámíthatjuk, hogy a körpálya sugara

$\displaystyle R=\frac{h}{2}+\frac{\ell^2}{8h}=5{,}012~\rm m.$

A test legnagyobb sebessége (ezt a pálya legmélyebb pontjánál éri el) a munkatétel szerint

$\displaystyle v_\text{max}=\sqrt{v_0^2+2gh}=1{,}22~\frac{\rm m}{\rm s},$

a legnagyobb szögsebessége pedig

$\displaystyle \omega_\text{max}=\frac{v_\text{max}}{R}=0{,}24~\frac{1}{\rm s}.$

A test mozgása a körív mentén éppen olyan, mint egy $\displaystyle R$ hosszúságú fonálinga nehezékének mozgása. Ha az időmérés kezdőpontjának azt a pillanatot választjuk, amikor a test sebessége maximális, akkor a fonálinga pillanatnyi szögkitérése

$\displaystyle \varphi(t)=\frac{\omega_\text{max}}{\Omega}\sin\Omega t$

alakban adható meg, ahol

$\displaystyle \Omega=\sqrt{\frac{g}{R}}=1{,}40~\frac{1}{\rm s}$

a rezgőmozgás körfrekvenciája (nem tévesztendő össze a pillanatnyi szögsebesség $\displaystyle \omega(t)$ értékével). Ezek szerint

$\displaystyle \varphi(t)=0{,}174~\sin\left(1{,}4 \frac{t}{1~\rm s}\right).$

A pálya végpontjában (vagyis a $\displaystyle B$ pontban) a $\displaystyle \varphi_0$ szögkitérésre fennáll:

$\displaystyle \sin\varphi_0=\frac{\ell}{2R},\qquad \text{ahonnan}\qquad \varphi_0=0{,}10~\text{radián}.$

A mozgás keresett $\displaystyle T$ idejének felére, $\displaystyle t_0=T/2$-re teljesül, hogy

$\displaystyle 0{,}10=0{,}174~\sin\left(1{,}4 \frac{t_0}{1~\rm s}\right),$

vagyis

$\displaystyle \sin\left(1{,}4 \frac{t_0}{1~\rm s}\right)=0{,}57,$

tehát

$\displaystyle T=2t_0=0{,}87~\rm s.$

Ezek szerint a köríven történő mozgás (azonos kezdősebességek esetén) rövidebb ideig tart, mint az egyenes út mentén.

II. megoldás. A körív menti mozgásnál a legnagyobb sebesség (a munkatétel szerint)

$\displaystyle v_\text{max}=\sqrt{v_0^2+2gh}=1{,}22~\frac{\rm m}{\rm s},$

az ,,átlagsebesség'' pedig – a legkisebb és a legnagyobb sebesség számtani közepével számolva – $\displaystyle 1{,}11~\frac{\rm m}{\rm s}$.

A geometriai adatokból kiszámítható, hogy a körív hossza 1,0025 m, így tehát a mozgás ideje

$\displaystyle T\approx \frac{1{,}0025~\rm m}{1{,}1~\rm m/s}\approx 0{,}9~\rm s.$

Tehát az egyenes pályán történő mozgás tart hosszabb ideig.

Megjegyzés. A számításban használandó ,,átlagsebesség'' nem időbeli átlagot jelent, hanem azt, hogy a sebesség reciprokát az út szerinti átlagoljuk, majd ennek reciprokát képezzük. Ennek az átlagnak jó közelítését kapjuk, ha a legnagyobb és a legkisebb sebességhez tartozó értékek $\displaystyle 2:1$ arányú súlyozott közepét képezzük, amivel számolva még inkább teljesül a bizonyítandó egyenlőtlenság, miszerint a köríven történő mozgás tart rövidebb ideig.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Berkesi Tímea, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Fey Dávid, Gurzó József, Juhász Márk Hunor, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Nemeskéri Dániel, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Szoboszlai Szilveszter, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
5 pontot kapott:	Beke Zsolt, Brilli Fabiano, Fonyi Máté Sándor, Horváth 999 Anikó.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. novemberi fizika feladatai