A P. 5272. feladat (2020. december)

P. 5272. Az ábrán látható négy belső fogaskerék körbejár, a külső pedig áll. (A fogaskerekek mozgása a honlapon megtekinthető.)

Mekkora az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle C$ jelű fogaskerék fordulatszáma, ha a legkisebb, $\displaystyle D$ jelű fogaskerék másodpercenként egyszer fordul körbe?

Közli: Baranyai Klára, Veresegyház

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a külső (álló) fogaskerék fogainak száma $\displaystyle n_0=37$, a belső fogaskerekeké pedig

$\displaystyle n_A=19; \qquad n_B=13; \qquad n_C=11; \qquad n_D=7.$

Gondolatban egyenesítsük ki a 37 fogú külső kereket, így egy 37 fogú fogaslécet kapunk, majd ezen vezessük végig az $\displaystyle A$, a $\displaystyle B$ és a $\displaystyle D$ jelű fogaskerekeket. Megállapíthatjuk, hogy ezek rendre $\displaystyle \tfrac{37}{19}$, $\displaystyle \tfrac{37}{13}$ és $\displaystyle \tfrac{37}{7}$ fordulatot végeznek. Ha visszatérünk a fogaslécről az eredei (kör alakú) fogaskerékre, akkor a mozgó kerekek körülfordulásának száma a fenti értékeknél minden esetben eggyel kisebb lesz. Ezt úgy láthatjuk be, ha gondolatban az álló fogaslécen lépünk egy foggal előrébb (a görgetett kerékkel együtt, annak mozgásirányába), majd a fogaslécen annyit hajlítunk visszafelé, hogy végül kialakuljon a teljes kör. A fogasléc visszahajlításakor a rajta lévő fogaskerék is visszafelé fordul el. A sok kis visszafordulás végül egy teljes körré áll össze, ezért kell egyet levonnunk az egyenes fogaslécnél kiszámolt értékből.

Tehát miközben a belső fogaskerekek először visszatérnek eredeti helyzetükbe, az $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ és $\displaystyle D$ kerekek rendre

$\displaystyle \frac{37}{19}-1=\frac{18}{19};\qquad \frac{37}{13}-1=\frac{24}{13}; \qquad \frac{37}{7}-1=\frac{30}{7}$

fordulatot végeznek. Ha a legkisebb fogaskerék másodpercenként egyet fordul, akkor a teljes körülforduláshoz 30/7 másodperc szükséges. Így megkaphatjuk az $\displaystyle A$ és a $\displaystyle B$ jelű fogaskerekek fordulatszámát:

$\displaystyle f_A=\frac{ {18}/{19}} { {30}/{7}} ~{\rm s}^{-1}=\frac{21}{95}~{\rm s}^{-1}=0{,}221~{\rm s}^{-1}; \qquad f_B=\frac{ {24}/{13}} { {30}/{7}}~{\rm s}^{-1}=\frac{28}{65}~{\rm s}^{-1}=0{,}431~{\rm s}^{-1}.$

Hátra van még a 11 fogú, $\displaystyle C$ jelű fogaskerék. Ezt ugyanolyan gyorsan (de visszafelé, a fogasléc folyamatos meggörbítésével megegyező irényba) hajtja mind a három másik kerék, ezért $\displaystyle C$ fordulatszámát akár háromféleképpen is kiszámíthatjuk. Egy teljes körüljárás alatt a kerék körülfordulásainak száma:

$\displaystyle \frac{37/19}{11/19}+1=\frac{37/13}{11/13}+1=\frac{37/7}{11/7}+1= \frac{37 }{11}+1=\frac{48}{11}.$

Az előzőekhez hasonlóan végül a $\displaystyle C$ jelű fogaskerék fordulatszáma:

$\displaystyle f_C=\frac{ {48}/{11}} { {30}/{7}} ~{\rm s}^{-1}=\frac{56}{55}~{\rm s}^{-1}=1{,}018~{\rm s}^{-1},$

forgásának iránya pedig a többiekével ellentétes.

II. megoldás. Az ábráról leolvashatjuk, hogy a külső (álló) fogaskerék fogainak száma $\displaystyle n_0=37$, a belső fogaskerekeké pedig

$\displaystyle n_A=19; \qquad n_B=13; \qquad n_C=11; \qquad n_D=7.$

Jelöljük a belső fogaskerekek (azok mozgó tengelyeinek) keringési fordulatszámát $\displaystyle f_0$-lal.

Üljünk bele egy olyan $\displaystyle \cal K'$ koordináta-rendszerbe, amely együtt forog a tengelyekkel, vagyis a fordulatszáma az eredeti, az álló külső kerékhez rögzített $\displaystyle \cal K$ koordináta-rendszerben éppen $\displaystyle f_0$. Ebből a rendszerből nézve a négy belső fogaskerék tengelye áll, a külső kerék pedig $\displaystyle f_0$ fordulatszámmal forog az óramutató járásával megegyező irányban.

A belső kerekek fordulatszáma a $\displaystyle \cal K'$ rendszerben (a fogak számának arányában)

$\displaystyle f'_A= \frac{37}{19}f_0; \qquad f'_B= \frac{37}{13}f_0; \qquad -f'_C= \frac{37}{19}\cdot \frac{19}{11}f_0= \frac{37}{13}\cdot\frac{13}{11}f_0= \frac{37}{7}\cdot\frac{7}{11}f_0=\frac{37}{11}f_0; \qquad f'_D= \frac{37}{7}f_0.$

($\displaystyle f'_C$ képletében a negatív előjel azt fejezi ki, hogy ez a fogaskerék a másik hárommal ellentétes irányban forog.)

Az eredeti $\displaystyle \cal K$ rendszerbe úgy térhetünk vissza, hogy a fordulatszámokból levonjuk a két rendszer egymáshoz képesti forgásának $\displaystyle f_0$ fordulatszámát:

$\displaystyle f_A=f'_A-f_0=\frac{18}{19}f_0; \quad f_B= f'_B-f_0=\frac{24}{13}f_0;\quad f_C=f'_C-f_0= -\frac{48}{11}f_0;\quad f_D=f'_D-f_0= \frac{30}{7}f_0.$

Tudjuk, hogy

$\displaystyle f_D=1~\rm s^{-1},\qquad \text{vagyis}\qquad f_0=\frac{7}{30}~\rm s^{-1}.$

Innen következik, hogy a körbejáró fogaskerekek másodpercenkénti fordulatszáma

$\displaystyle f_A=\frac{21}{95}\approx 0{,}22;\qquad f_B=\frac{28}{65}\approx 0{,}43;\qquad f_C=-\frac{56}{55}\approx -1{,}02.$

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fekete András Albert, Koleszár Benedek, Kozaróczy Csaba, Sas 202 Mór, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	Fey Dávid, Horváth Antal, Kovács Kinga, Ludányi Levente, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	31 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai