A P. 5273. feladat (2020. december)

P. 5273. Az ábrán látható, vízszintes síkon elhelyezett, $\displaystyle \alpha= 30^\circ$-os, $\displaystyle M = 1$ kg tömegű, $\displaystyle h = 60$ cm magasságú derékszögű lejtő tetején nyugvó $\displaystyle m = 0{,}5$ kg tömegű, $\displaystyle a = 20$ cm alapú, $\displaystyle b = 10$ cm magasságú téglatestet kezdetben nyugalomban tartjuk. Egy adott pillanatban a téglatestet elengedjük. A súrlódás mindenütt elhanyagolható.

$\displaystyle a)$ Mekkora a két test sebességének nagysága, amikor a téglatest a talajhoz ér?

$\displaystyle b)$ Mennyi idő alatt jut el a tégla a talajhoz?

$\displaystyle c)$ Mekkora utat tesz meg ezalatt a téglatest?

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

I. megoldás. Jelöljük a gyorsulásokat és a erőket az ábrán látható módon.

A lejtő mozgásegyenlete:

Ha a lecsúszó téglatest vízszintes irányú gyorsulása (a talajhoz képest) $\displaystyle a_1$, a függőleges gyorsulása pedig $\displaystyle a_2$, akkor a mozgásegyenletei:

illetve

A téglatest mindvégig a lejtőn marad, ennek feltétele:

Az (1)-(4) egyenletrendszer megoldása:

$\displaystyle A=\frac{m\sin\alpha\cos\alpha}{m\sin^2\alpha+M}\,g=1{,}89~ \frac{\rm m}{s^2},$

$\displaystyle a_1=\frac{M\sin\alpha\cos\alpha}{M+m\sin^2\alpha}\,g=3{,}78~ \frac{\rm m}{ s^2},$

$\displaystyle a_2= \frac{(M+m)\sin^2\alpha}{M+m\sin^2\alpha}\,g=3{,}27~ \frac{\rm m}{ s^2},$

és végül

$\displaystyle N=\frac{M \cos\alpha}{M+m\sin^2\alpha}\,mg=3{,}78~ \rm N.$

$\displaystyle b)$ Függőleges irányban a téglatest $\displaystyle s=h-a\sin\alpha=0{,}5~\rm m$-t mozdul el. A mozgás ideje:

$\displaystyle t=\sqrt{\frac{2s}{a_2}}=0{,}55~\rm s.$

$\displaystyle a)$ A lejtő sebessége a kérdéses pillanatban:

$\displaystyle V^{\rm (max)}=At=1{,}04~\frac{\rm m}{\rm s},$

míg a lejtőn csúszó téglatest legnagyobb sebességének komponensei:

$\displaystyle v_{1\rm max}=a_1t=2{,}08~\frac{\rm m}{\rm s},\qquad v_{2\rm max}=a_2t=1{,}81~\frac{\rm m}{\rm s},$

a sebességének nagysága tehát

$\displaystyle v=\sqrt{v_{1\rm max}^2+v_{2\rm max}^2}=2{,}76~\frac{\rm m}{\rm s}.$

$\displaystyle c)$ A téglatest elmozdulásvektorának komponensei:

$\displaystyle s_1=\frac{a_1}{2}t^2=0{,}57~{\rm m}; \qquad s_2=\frac{a_2}{2}t^2=0{,}67~{\rm m}=0{,}5~{\rm m},$

az elmozdulás nagysága (vagyis a megtett útja):

$\displaystyle \ell=\sqrt{s_1^2+s_2^2}=0{,}76~\rm m.$

II. megoldás. A feladatot az energia- és a lendületmegmaradás tételének alkalmazásával is meg lehet oldani.

Jelöljük a lejtő gyorsulását $\displaystyle A$-val, a téglatestnek a lejtőhöz viszonyított gyorsulását pedig $\displaystyle a_0$-lal! A lecsúszás $\displaystyle t$ ideje alatt a megfelelő sebességek: $\displaystyle V=At$ és $\displaystyle v_0=a_0t$.

A téglatest sebességének vízszintes komponense a talajhoz képest

$\displaystyle v_1=a_0t\cos\alpha-At,$

a sebesség nagysága pedig (ismét a talajhoz viszonyítva) a koszinusz-tételt alkalmazásával:

A lendületmegmaradás tétele szerint

$\displaystyle MAt=m\left(a_0\cos\alpha-A\right)t,$

vagyis

A téglatest $\displaystyle t$ idő alatt érkezik $\displaystyle \frac h{\sin\alpha}-a=1~$m-t megtéve lejtő aljára, vagyis

Az energiamegmaradás tétele szerint

$\displaystyle \frac{1}{2}MV^2+\frac{1}{2}mu^2=mgh,$

tehát

$\displaystyle \frac{1}{2}M(At)^2+\frac{1}{2}m\left( a_0^2+A^2-2a_0A\cos\alpha \right)t^2=mg\frac{a_0}{2}t^2\,\sin\alpha.$

Innen egyszerűsítések és (6) felhasználása után az

$\displaystyle MA^2+m\left(A^2+\frac{(M+m)^2}{m^2\cos^2\alpha}A^2-2A^2\frac{ M+m }{m}\right)= (M+m)gA \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha},$

vagyis az

$\displaystyle A=\frac{\sin\alpha\,\cos\alpha}{(M/m)+\sin^2\alpha}g=1{,}89~ \frac{\rm m}{s^2}$

eredményt kapjuk. Innen (6) szerint

$\displaystyle b)$ A csúszás ideje (7) alapján

$\displaystyle t=\sqrt{ \frac2{a_0}\left({\frac h{\sin\alpha}-a}\right)}=0{,}55~\rm s.$

$\displaystyle a)$ A lejtő sebessége a téglatest leérkezésekor

$\displaystyle V=At=1{,}04~\frac{\rm m }{\rm s},$

a téglatest sebessége pedig ($\displaystyle a_0t=3{,}60~\rm m/s$ ismeretében) (5) szerint

$\displaystyle u=\sqrt{3{,}60^2+1{,}04^2-2\cdot3{,}60\cdot1{,}04\cdot\cos 30^\circ }~\frac{\rm m }{\rm s}=2{,}75~\frac{\rm m }{\rm s}.$

$\displaystyle c)$ A téglatest (a talajhoz képest)

$\displaystyle \ell=\frac{u}{2}t=0{,}76~\rm m$

utat tesz meg.

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csapó Tamás, Fey Dávid, Gurzó József, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Somlán Gellért, Toronyi András, Varga Vázsony, Viczián Máté.
4 pontot kapott:	Biebel Botond, Bubics Gergely Dániel, Horváth 999 Anikó, Kozaróczy Csaba, Ludányi Levente, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török 111 László.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	16 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai