A P. 5274. feladat (2020. december)

P. 5274. Az ábrán látható, $\displaystyle 3L$ hosszúságú, elhanyagolható tömegű, merev rúd a bal oldali végétől $\displaystyle L$ távolságra lévő, rögzített vízszintes tengely körül súrlódásmentesen foroghat a függőleges síkban. A rúd végeihez $\displaystyle m$, illetve $\displaystyle 2m$ tömegű, kis méretű testeket erősítünk, és a rudat vízszintes helyzetben tartjuk. Egy adott pillanatban a rudat elengedjük.

$\displaystyle a)$ Mekkora a rúd által a tengelyre kifejtett erő rúdirányú összetevője abban a pillanatban, amikor a rúd $\displaystyle \alpha$ szöget zár be a vízszintes iránnyal?

$\displaystyle b)$ Határozzuk meg az $\displaystyle \alpha$ szöget abban a pillanatban, amikor a rúd által a tengelyre kifejtett teljes erő $\displaystyle 4mg$ nagyságú!

Közli: Kotek László, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ A két testből és az elhanyagolható tömegű rúdból álló rendszernek a tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka

$\displaystyle \Theta=mL^2+(2m)(2L)^2=9mL^2.$

A rúd $\displaystyle \alpha$ szögű elfordulásakor a szögsebesség (az energiamegmaradás tétele szerint) így számolható:

$\displaystyle \frac{1}{2}\Theta\omega^2=(2mg)(2L)\sin\alpha-mgL\sin\alpha,$

vagyis

$\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{g}{L}\sin\alpha}.$

Jelöljük a $\displaystyle m$ tömegű testre a rúd által kifejtett erő rúd irányú komponensét $\displaystyle F_1$-gyel, a másik testnél az ennek megfelelő erőt $\displaystyle F_2$-vel (1. ábra).

1. ábra

A mozgásegyenletek:

$\displaystyle mg\sin\alpha-F_1=mL\omega^2,$

ahonnan

$\displaystyle F_1=\frac{1}{3}mg\sin\alpha,$

illetve

$\displaystyle F_2-2mg\sin\alpha=2m(2L)\omega^2,$

vagyis

$\displaystyle F_2=\frac{14}{3}mg\sin\alpha.$

A tengelyre kifejtett rúdirányú erő ( a $\displaystyle m$ tömegű test felé)

$\displaystyle N_1=F_1+F_2=5mg\sin\alpha.$

$\displaystyle b)$ A testek nemcsak a rúd irányába, hanem arra merőlegesen is gyorsulnak. Ezt a tangenciális gyorsulást a nehézségi erőnek a rúdra merőleges komponense és a rúd által a rúdra merőleges irányban kifejtett $\displaystyle F_3$ és $\displaystyle F_4$ erő hozza létre (2. ábra).

2. ábra

A mozgásegyenletek:

és

ahol az egész merev test szöggyorsulása a külső erők eredő forgatónyomatékából számítható ki:

$\displaystyle \beta=\frac{2mg(2L)\cos\alpha-mgL\cos\alpha}{\Theta}=\frac{1}{3}\frac{g}{L}\cos\alpha.$

Ezt a kifejezést visszahelyettesítva (1)-be és (2)-be, kapjuk, hogy

$\displaystyle F_3=\frac{4}{3}mg\cos\alpha, \qquad \text{illetve}\qquad F_4=-\frac{2}{3}mg\cos\alpha.$

A tengelyre ható erőnek a rúdra merőleges összetevője:

$\displaystyle N_2=F_3-F_4=2mg\cos\alpha.$

A tengelyre ható teljes (eredő) erő

$\displaystyle \vert\boldsymbol N\vert=\sqrt{N_1^2+N_2^2}=mg\sqrt{25\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha}=mg\sqrt{21\sin^2\alpha+4},$

ami akkor egyezik meg $\displaystyle 4mg$-vel, amikor

$\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{12}{21},\qquad \text{azaz}\qquad\alpha=\arcsin\sqrt{\frac{12}{21}}=49{,}1^\circ.$

Statisztika:

46 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gurzó József, Horváth Antal, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Somlán Gellért, Téglás Panna.
4 pontot kapott:	Fekete András Albert, Nemeskéri Dániel, Sas 202 Mór.
3 pontot kapott:	15 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai