 |
A P. 5274. feladat (2020. december) |
P. 5274. Az ábrán látható, \(\displaystyle 3L\) hosszúságú, elhanyagolható tömegű, merev rúd a bal oldali végétől \(\displaystyle L\) távolságra lévő, rögzített vízszintes tengely körül súrlódásmentesen foroghat a függőleges síkban. A rúd végeihez \(\displaystyle m\), illetve \(\displaystyle 2m\) tömegű, kis méretű testeket erősítünk, és a rudat vízszintes helyzetben tartjuk. Egy adott pillanatban a rudat elengedjük.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a rúd által a tengelyre kifejtett erő rúdirányú összetevője abban a pillanatban, amikor a rúd \(\displaystyle \alpha\) szöget zár be a vízszintes iránnyal?
\(\displaystyle b)\) Határozzuk meg az \(\displaystyle \alpha\) szöget abban a pillanatban, amikor a rúd által a tengelyre kifejtett teljes erő \(\displaystyle 4mg\) nagyságú!
Közli: Kotek László, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A két testből és az elhanyagolható tömegű rúdból álló rendszernek a tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka
\(\displaystyle \Theta=mL^2+(2m)(2L)^2=9mL^2.\)
A rúd \(\displaystyle \alpha\) szögű elfordulásakor a szögsebesség (az energiamegmaradás tétele szerint) így számolható:
\(\displaystyle \frac{1}{2}\Theta\omega^2=(2mg)(2L)\sin\alpha-mgL\sin\alpha,\)
vagyis
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{2}{3}\frac{g}{L}\sin\alpha}.\)
Jelöljük a \(\displaystyle m\) tömegű testre a rúd által kifejtett erő rúd irányú komponensét \(\displaystyle F_1\)-gyel, a másik testnél az ennek megfelelő erőt \(\displaystyle F_2\)-vel (1. ábra).
1. ábra
A mozgásegyenletek:
\(\displaystyle mg\sin\alpha-F_1=mL\omega^2,\)
ahonnan
\(\displaystyle F_1=\frac{1}{3}mg\sin\alpha,\)
illetve
\(\displaystyle F_2-2mg\sin\alpha=2m(2L)\omega^2,\)
vagyis
\(\displaystyle F_2=\frac{14}{3}mg\sin\alpha.\)
A tengelyre kifejtett rúdirányú erő ( a \(\displaystyle m\) tömegű test felé)
\(\displaystyle N_1=F_1+F_2=5mg\sin\alpha.\)
\(\displaystyle b)\) A testek nemcsak a rúd irányába, hanem arra merőlegesen is gyorsulnak. Ezt a tangenciális gyorsulást a nehézségi erőnek a rúdra merőleges komponense és a rúd által a rúdra merőleges irányban kifejtett \(\displaystyle F_3\) és \(\displaystyle F_4\) erő hozza létre (2. ábra).
2. ábra
A mozgásegyenletek:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle F_3-mg\cos\alpha=mL\beta\) |
és
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 2mg\cos\alpha+F_4=2m(2L)\beta,\) |
ahol az egész merev test szöggyorsulása a külső erők eredő forgatónyomatékából számítható ki:
\(\displaystyle \beta=\frac{2mg(2L)\cos\alpha-mgL\cos\alpha}{\Theta}=\frac{1}{3}\frac{g}{L}\cos\alpha.\)
Ezt a kifejezést visszahelyettesítva (1)-be és (2)-be, kapjuk, hogy
\(\displaystyle F_3=\frac{4}{3}mg\cos\alpha, \qquad \text{illetve}\qquad F_4=-\frac{2}{3}mg\cos\alpha.\)
A tengelyre ható erőnek a rúdra merőleges összetevője:
\(\displaystyle N_2=F_3-F_4=2mg\cos\alpha.\)
A tengelyre ható teljes (eredő) erő
\(\displaystyle \vert\boldsymbol N\vert=\sqrt{N_1^2+N_2^2}=mg\sqrt{25\sin^2\alpha+4\cos^2\alpha}=mg\sqrt{21\sin^2\alpha+4},\)
ami akkor egyezik meg \(\displaystyle 4mg\)-vel, amikor
\(\displaystyle \sin^2\alpha=\frac{12}{21},\qquad \text{azaz}\qquad\alpha=\arcsin\sqrt{\frac{12}{21}}=49{,}1^\circ.\)
Statisztika:
46 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Gurzó József, Horváth Antal, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Molnár-Szabó Vilmos, Somlán Gellért, Téglás Panna. 4 pontot kapott: Fekete András Albert, Nemeskéri Dániel, Sas 202 Mór. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 8 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai