A P. 5275. feladat (2020. december)

P. 5275. Az egyik kaposvári szökőkútból 1 perc alatt 1 köbméter víz szökik fel függőlegesen 5 m magasra.

$\displaystyle a)$ Mekkora a villanymotor felvett teljesítménye, ha a szivattyúzás hatás­foka 75%?

$\displaystyle b)$ Mekkora sebességgel áramlik ki a víz a csőből?

$\displaystyle c)$ Mekkora a kilépő vízáram átmérője?

$\displaystyle d)$ Mekkora a vízsugár átmérője 2,5 m magasságban?

A légellenállástól és a vízsugár cseppekre szakadásától tekintsünk el.

Közli: Gelencsér Jenő, Kaposvár

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ 60 másodperc alatt 1 m$\displaystyle ^3$ vizet 5 méter magasba emelni

$\displaystyle P_\text{hasznos}=\frac{1000~{\rm kg}\cdot 9{,}81~{\rm N/kg} \cdot 5~{\rm m}}{60~\rm s}=0{,}82~\rm kW$

teljesítménnyel lehet. A villanymotor felvett teljesítménye tehát

$\displaystyle P_\text{motor}=\frac{P_\text{hasznos}}{\eta}= \frac{0{,}82~{\rm kW}} {0{,}75}= 1{,}1~{\rm kW}.$

$\displaystyle b)$ A vízsugár akkor emelkedik 5 méter magasra, ha a kezdősebessége

$\displaystyle v_0=\sqrt{2gh}=\sqrt{2\cdot 5~{\rm m}\cdot 9{,}81~ {\rm m/s}^2}=9{,}9~\frac{\rm m}{\rm s}.$

$\displaystyle c)$ Az $\displaystyle A$ nagyságú keresztmetszeten $\displaystyle v_0$ sebességgel kiáramló víz térfogata másodpercenként $\displaystyle Av_0$:

$\displaystyle \frac{1~\rm m^3}{60~\rm s}=A\cdot 9{,}9~\frac{\rm m}{\rm s},$

ahonnan

$\displaystyle A=\frac{d_0^2\pi}{4}=16{,}8~\rm cm^2,$

vagyis a vízsugár (kezdeti) átmérője

$\displaystyle d_0=2\sqrt{\frac{A}{\pi}}=4{,}6~\rm cm.$

$\displaystyle d)$ 2,5 méter magasságban egy adott tömegű vízdarabka mozgási energiája csak a fele a kezdeti értéknek, a víz áramlási sebessége tehát

$\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{1}{2}}v_0=7{,}0~\frac{\rm m}{\rm s}.$

Az anyagmegmaradás törvénye szerint amilyen arányban csökken a vízsugár sebessége, ugyanolyan arányban növekszik a keresztmetszete. Másrészt a vízsugár átmérője a keresztmetszet négyzetgyökével arányos, így a kérdezett átmérő

$\displaystyle d_1= \sqrt[4]{2}\cdot 4{,}6~\rm cm \approx 5{,}5~\rm cm.$

Megjegyzés. A megfontolásaink során elhanyagoltuk az áramló ,,vízdarabkák'' sebességének vízszintes komponensét, pedig ilyen biztosan van, mert a lelassuló vízsugár fokozatosan kiszélesedik. Ugyancsak eltekintettünk a vízsugár (előbb vagy utóbb bekövetkező) cseppekre szakadásától, és nem törődtünk a felülről lefelé visszahulló vízcseppekkel sem. A vízsugár alsó részénél ez jó közelítés lehet, de a tetejénél (ahol a függőleges sebességkomponens nullává válik) biztosan nem alkalmazható.

Statisztika:

77 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Antalóczy Szabolcs, Barta Gergely, Beke Bálint, Biebel Botond, Boda Benedek János, Bubics Gergely Dániel, Dékány Csaba, Dóra Márton, Dormán Mihály Vilmos, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Juhász Márk Hunor, Korom Lili, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Könye Sólyom, Köpenczei Csanád, Ludányi Levente, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Nagyváradi Dániel, Németh Kristóf, Páhán Anita Dalma, Perényi Barnabás, Schäffer Bálint, Schmercz Blanka, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szász Levente, Tanner Norman, Téglás Panna, Tóth Ábel, Török 111 László, Tuba Balázs.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	4 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai