A P. 5276. feladat (2020. december)

P. 5276. Egy 25 cm-es átmérőre felfújt, gömb alakú lufival beszállunk Európa legnagyobb emelkedésű drótkötélpályájának kabinjába, és a hegytetőig utazunk. A kabin nem zár légmentesen, de a belső hőmérsékletét mindvégig a beszállóhely hőmérsékletén tartják. A kabin a tengerszint feletti 1000 m-es magasságból indul, és majdnem 3000 m magasba viszi fel a turistákat a Zugspitze csúcsáig. A lufin belüli nyomás mindvégig alig nagyobb a külső légnyomásnál.

Becsüljük meg, mekkora lesz a lufi átmérője, amikor kiszállunk a kabinból!

Közli: Miklós Ildikó, Tésa

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ismert, hogy a légnyomás a magassággal exponenciálisan csökken, és kb. 5500 méterenként feleződik:

\(\displaystyle p(x)=p_0\,2^{-\frac{x}{5500~\rm m}}.\)

Ezek szerint a felvonó tetejénél a nyomás és az indító állomáson mérhető nyomás aránya:

\(\displaystyle \frac{p_\text{fent}}{p_\text{lent}}\approx 2^{-\frac{3000{~\rm m}-1000{~\rm m}}{5500{~\rm m}}}=0{,}78.\)

A lufiban a nyomás jó közelítéssel az adott magasságban mérhető külső légnyomással egyezik meg. (Ez azért van így, mert a lufi anyaga nagyon könnyen nyúlik, vagyis a rugóktól eltérően a benne ébredő feszültség nem nő a megnyúlással arányosan.)

A lufiban lévő gáz izotermikusan tágul, tehát a térfogatok aránya a nyomások arányának reciproka:

\(\displaystyle \frac{V_\text{fent}}{V_\text{lent}}\approx \frac{1}{{0{,}78}}=1{,}28.\)

A térfogat a gömb átmérőjének köbével arányos, tehát

\(\displaystyle \frac{d_\text{fent}}{d_\text{lent}}\approx \sqrt[3]{ 1{,}28}\approx 1{,}08,\)

tehát a kitágult lufi átmérője a kiszálláskor

\(\displaystyle d_\text{fent}\approx 1{,}08\cdot 25{~\rm cm}=27{~\rm cm}\)

lesz.

Statisztika:

75 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	58 versenyző.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai