A P. 5277. feladat (2020. december)

P. 5277. Egy fényképezőgép lencséjének fókusztávolsága 50 mm, a lencse átmérője 20 mm. A lencsét úgy állítottuk be, hogy 5 m távoli tárgyat képez le élesen. Mekkora az a legnagyobb és legkisebb távolság, amelyen belül egy pontnak a képe még kisebb, mint egy 0,05 mm átmérőjű folt a filmen? Hogyan változik ez az intervallum, ha a lencse átmérőjét leszűkítjük 10 mm-re?

Közli: Tichy Géza, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás. A \(\displaystyle t_0=500\) cm-es tárgytávolsághoz \(\displaystyle f=5\) cm-es fókusztávolságú lencsénél

\(\displaystyle k_0=\frac{t_0f}{t_0-f}=5{,}05~\rm cm\)

képtávolság tartozik. Ekkora távolságban van a film a lencsétől.

A filmen a \(\displaystyle D\) átmérőjű lencsével történő leképezésnél akkor keletkezik egy \(\displaystyle t\) távol lévő (pontszerű) tárgynak \(\displaystyle d\) átmérőjű ,,képe'' (\(\displaystyle d\ll D\)), ha a \(\displaystyle k\) képtávolságra (pontosabban: kicsiny fényfolt távolságára) fennáll, hogy

\(\displaystyle \frac{k-k_0}{k}=\pm \frac{d}{D}.\)

Az előjel annak felel meg, hogy a kép a film előtt, vagy a film mögött keletkezik. Az \(\displaystyle N=D/d\) jelöléssel (esetünkben \(\displaystyle N=400\), illetve leszűkített lencseátmérő esetén \(\displaystyle N=200\). A fenti feltétel (\(\displaystyle N\gg 1\) miatt) így is felírható:

\(\displaystyle \frac{1}{k}=\frac{1}{k_0}\left(1\pm \frac{1}{N}\right),\)

vagyis a leképezési törvény szerint

\(\displaystyle \frac{1}{f}-\frac{1}{t}=\left(\frac{1}{f}-\frac{1}{t_0}\right)\left(1\pm \frac{1}{N}\right).\)

Innen következik, hogy (\(\displaystyle f\ll t_0\) miatt)

\(\displaystyle \frac{1}{t}=\frac{1}{t_0}\pm \frac{1}{Nf}.\)

Ha \(\displaystyle N=400\), \(\displaystyle Nf=2000\) cm és \(\displaystyle t_0=500~\)cm, akkor a \(\displaystyle t\) tárgytávolság szélső helyzeteinek 400 cm és 667 cm felel meg. A fénykép tehát akkor lesz éles, ha

\(\displaystyle 4{,}0~{\rm m}< t< 6{,}7~{\rm m}.\)

Ugyanezek a határok \(\displaystyle N=200\) esetén kitolódnak:

\(\displaystyle 3{,}3~{\rm m}< t< 10{,}0~{\rm m},\)

az objektív leszűkítése tehát nagyobb ,,mélységélességet'' eredményez.

Megjegyzés. A leszűkített lencsénél ugyan nagyobb tartományban lesz éles a kép, de a kisebb átmérőjű lencsén kevesebb fény jut a filmre, így hosszabb ideig kell exponálni.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gurzó József, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Sas 202 Mór, Szabó Márton, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Barta Gergely, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kozák Gergely, Ludányi Levente.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai