 |
A P. 5282. feladat (2020. december) |
P. 5282. Légpárnás asztalon mágneskorong mozog egy fémlap felett. Az örvényáramok hatására a sebességgel arányos fékezőerő hat a korongra. Egy alumíniumlap felett haladva a korong 30 cm út megtétele után áll meg, egy rézlap felett ugyanez a távolság csak 20 cm. Mekkora út megtétele után áll meg a mágneskorong, ha először egy 15 cm széles rézlap felett halad el, majd egy alumíniumlap felett folytatja mozgását? (A korong kezdősebessége mindhárom esetben ugyanakkora.)
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle ma=-kv\) mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle \frac{m\Delta v}{\Delta t}+k\frac{\Delta x}{\Delta t}=0,\)
vagyis
\(\displaystyle \frac{\Delta(mv+kx)}{\Delta t}=0,\)
tehát
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \frac{m}{k}v+ x=C =(\text{állandó}).\) |
A \(\displaystyle C\) állandó értéke a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel és a megállásig megtett \(\displaystyle x_\text{max}\) úttal is kifejezhető:
\(\displaystyle C=\frac{m}{k}v_0=x_\text{max},\)
vagyis
\(\displaystyle x_\text{max}=\mu v_0,\)
ahol \(\displaystyle \mu=m/k\) a fékeződést előidéző fémlemezre jellemző állandó. Ezek szerint a megállásig megtett út a mágneskorong kezdősebességével arányos.
A kétféle anyagú lemezre felírható összefüggések:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 30~{\rm cm}=\mu_\text{alumínium}\cdot v_0,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle 20~{\rm cm}=\mu_\text{réz}\cdot v_0.\) |
Ha a 15 centiméter széles rézlap felett áthaladó mágneskorong sebességre valamekkora \(\displaystyle v_1\) értékre csökken, akkor (1) szerint
\(\displaystyle \mu_\text{réz}\cdot v_0=\mu_\text{réz}\cdot v_1+15~\rm cm,\)
vagyis
\(\displaystyle v_1=v_0-\frac{15~\rm cm}{\mu_\text{réz}}. \)
Ekkora kezdősebességgel a mágnes az alumíniumlemezen
\(\displaystyle x_1=\mu_\text{alumínium}\cdot v_1=\mu_\text{alumínium}\cdot v_0-\frac{\mu_\text{réz}}{\mu_\text{alumínium}}\cdot (15~\rm cm), \)
vagyis (2) és (3) szerint
\(\displaystyle x_1=30~{\rm cm}-\frac{30~\rm cm}{20~\rm cm}15~\rm cm=7{,}5~\rm cm\)
utat tesz meg.
A mágneskorong tehát összesen 15 cm + 7,5 cm = 22,5 cm út megtétele után áll meg.
Megjegyzés. Megmutatható, hogy a sebességgel arányos fékezőerő esetén a test sebessége időben exponenciálisan csökken, tehát véges időtartam alatt nem állhat meg. A feladatban szereplő ,,megállás'' úgy értendő, hogy a sebesség nagyon kicsi, gyakorlatilag nullának tekinthető értékre csökken.
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Antalóczy Szabolcs, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Dobre Zsombor, Dóra Márton, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Jánosik Máté, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Magyar Gábor Balázs, Mihalik Bálint, Molnár-Szabó Vilmos, Mozolai Bende Bruno, Selmi Bálint, Simon László Bence, Somlán Gellért, Takács Bendegúz, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 5 pontot kapott: Fey Dávid, Kozaróczy Csaba, Molnár 123 Barnabás. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2020. decemberi fizika feladatai