 |
A P. 5285. feladat (2021. január) |
P. 5285. Lapos, korong alakú, \(\displaystyle m\) tömegű test vízszintes, érdes felületen nyugszik. Egy \(\displaystyle D\) direkciós erejű rugó egyik végét a korong közepéhez erősítjük, majd a másik végét vízszintes irányban lassan húzni kezdjük. Kezdetben a rugó feszítetlen. A test egy ideig mozdulatlan, majd megindul, és egyenes vonalban mozog. A korong megindulásának pillanatában a rugó másik végét rögzítjük.
\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a test maximális sebessége?
\(\displaystyle b)\) Mennyi idő alatt éri el a maximális sebességet?
\(\displaystyle c)\) Mekkora távolságot tesz meg a korong a maximális sebesség eléréséig?
\(\displaystyle d)\) Hogyan mozog a korong a továbbiakban, feltételezve, hogy a rugó mindig egyenes marad?
A korong és az érdes felület között a csúszási súrlódási együttható \(\displaystyle \mu\), a tapadási súrlódás együtthatója pedig \(\displaystyle \mu_0\) (\(\displaystyle \mu_0>\mu\)).
Közli: Wiedemann László, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.
Megoldás. A korong akkor mozdul meg, amikor a rugóerő éppen meghaladja a tapadási súrlódási erő \(\displaystyle \mu_0mg\) nagyságú maximális értékét. Ekkor a rugó megnyúlása (a feszítetlen állapotához képest)
\(\displaystyle x_0=\frac{\mu_0mg}{D}.\)
A már mozgó korongra \(\displaystyle \mu mg\) nagyságú csúszási súrlódási erő, valamint a rugó ereje hat. Ha \(\displaystyle x\) a korong elmozdulása, akkor a mozgásegyenlete:
\(\displaystyle ma=D(x_0-x)-\mu mg,\)
vagyis
\(\displaystyle a=-\frac{D}{m}x+(\mu_0-\mu)g.\)
(Ez a mozgásegyenlet csak addig érvényes, amíg a korong a rugó rögzített vége felé mozog. Ha a korong már megállt, vagy ha visszafelé mozogna, akkor a súrlódási erőt már nem a fenti kifejezés adná meg.) Mivel a korong gyorsulása az elmozdulásnak lineáris függvénye, a mozgásegyenlet harmonikus rezgőmozgást ír le. A rezgés körfrekvenciája:
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D}{m}},\)
a rezgés ,,egyensúlyi helyzete'' (vagyis az \(\displaystyle a=0\)-nak megfelelő helyzet) a korong
\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)
elmozdulásánál található. Mivel a megindulás helye az egyensúlyi helyzettől éppen \(\displaystyle A\) távolságra van, a rezgés amplitúdója \(\displaystyle A\).
\(\displaystyle a)\) A rezgőmozgást végző korong maximális sebessége:
\(\displaystyle v_{\rm max}= A\omega=\sqrt{\frac{m}{D}}(\mu_0-\mu)g.\)
\(\displaystyle b)\) A maximális sebességet a korong egy negyed rezgás, vagyis
\(\displaystyle t=\frac{T}{4}=\frac{\pi}2 {\sqrt{\frac{m}D}}\)
idő alatt éri el.
\(\displaystyle c)\) A maximális sebesség eléréséig a korong
\(\displaystyle A=\frac{(\mu_0-\mu)mg}{D}\)
utat tesz meg.
\(\displaystyle d)\) A korong akkor áll meg, amikor az elmozdulása \(\displaystyle 2A\). Ebben a helyzetben a rugó által kifejtett erő:
\(\displaystyle F=D(x_0-2A)=mg(2\mu-\mu_0).\)
\(\displaystyle F>0\) esetén rögzített rugóvég felé mutat a húzóerő, \(\displaystyle F<0\) esetén pedig a kiindulási helyzet felé tolja vissza a rugó a korongot. Akármelyik eset valósul meg, az álló korong nem tud megindulni, hiszen
\(\displaystyle \vert mg(2\mu-\mu_0)\vert <mg\mu_0\)
mindenképpen teljesül.
Statisztika:
49 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Kertész Balázs, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Somlán Gellért, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Bognár 171 András Károly, Dékány Csaba, Dóra Márton, Fey Dávid, Fonyi Máté Sándor, Gábriel Tamás, Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Simon László Bence, Téglás Panna, Török 111 László, Viczián Máté. 3 pontot kapott: 14 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2021. januári fizika feladatai