A P. 5286. feladat (2021. január)

P. 5286. Egy $\displaystyle R$ sugarú, homogén tömegeloszlású, $\displaystyle \varphi$ szöggel ,,hiányos'' vékony hengerpalástot vízszintes asztalra fektetünk az ábrán látható módon. A hengerpalástot kissé kimozdítjuk egyensúlyi helyzetéből, majd elengedjük. Határozzuk meg a hengerpalást rezgőmozgásának periódusidejét! Feltételezhetjük, hogy súrlódás elegendően nagy, így a hengerpalást a rezgőmozgás közben nem csúszik meg.

Adatok: $\displaystyle R= 0{,}2$ m; $\displaystyle \varphi=\pi/3$.

Közli: Takács Árpád, Budapesti Berzsenyi D. Gimn.

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.

I. megoldás. Táblázati adatok szerint a hiányos hengerpalást tömegközéppontja $\displaystyle d=R\frac{\sin\delta}\delta$ távolságban van a henger tengelyétól, ahol $\displaystyle \delta=\pi-\frac{\varphi}{2}$. (Lásd pl. a Négyjegyű függvénytáblázatokban a Homogén tömegeloszlású vonalas alakzatok tömegközéppontja c. részt.) Esetünkben $\displaystyle \delta=5\pi/6$, tehát $\displaystyle d=0{,}191\,R=3{,}82~$cm.

A hiányos hengerpalástnak az $\displaystyle O$ tengelyére vonatkoztatott tehetetlenségi nyomatéka $\displaystyle \Theta_O=mR^2,$ hiszen minden darabkája $\displaystyle R$ távol van az $\displaystyle O$ tengelytől. Eszerint a $\displaystyle T$ tömegközépponton átmenő tengelyre vonatkozó tehetetlenségi nyomaték (a Steiner-tétel szerint)

$\displaystyle \Theta_T=\Theta_O-md^2=m(R^2-d^2).$

Írjuk fel az $\displaystyle a\ll 1$ szöggel kitérített test mozgásegyenleteit és a csúszásmentes gördülés kényszerfeltételét.

$\displaystyle \Theta_T\beta=-mgd\sin\alpha-S(R-d\cos\alpha),$

$\displaystyle S=ma,$

$\displaystyle (R-d)\beta=a.$

Itt $\displaystyle S$ a korongra ható (tapadó) súrlódási erő, $\displaystyle a$ a tömegközéppont vízszintes irányú gyorsulása, $\displaystyle \beta$ pedig a szöggyorsulás. A függőleges irányú gyorsulás nagyon (másodrendűen) kicsi, emiatt az asztal által kifejtett nyomóerő $\displaystyle mg$-nek vehető (1. ábra).

1. ábra

$\displaystyle S$ és $\displaystyle a$ kiküszöbölése után (a $\displaystyle \sin\alpha\approx \alpha$ valamint a $\displaystyle \cos\alpha\approx 1$ közelítést alkalmazva) kapjuk, hogy

$\displaystyle \left(\Theta_T+m(R-d)^2\right)\beta=-mgd\cdot\alpha,$

vagyis

$\displaystyle \beta=-K\cdot \alpha,$

ahol $\displaystyle K$ egy állandó. Ez egy olyan harmonikus rezgőmozgás egyenlete, amelyben a $\displaystyle K$ állandó $\displaystyle (2\pi/T)^2$-nel egyezik meg. Innen a rezgésidő:

$\displaystyle T=2\pi \sqrt{\frac{(R-d)^2+R^2-d^2}{gd}}=2\pi \sqrt{\frac{2R(R-d)}{gd}}=2{,}61~\rm s.$

II. megoldás. Tekintsük a kicsiny $\displaystyle \alpha_0$ szöggel kitérített és kezdősebesség nélkül elindított hiányos hengerpalástot. A kicsiny kezdeti kitérés miatt a test szögelfordulása időben így változik:

$\displaystyle \alpha(t)=\alpha_0\cos\Omega t,$

ahol $\displaystyle \Omega=\frac{2\pi}{T}$ ($\displaystyle T$ a keresett periódusidő). Ez az időfüggés minden olyan mozgásra igaz, ahol egy stabil egyensúlyi helyzetből mozdítottuk ki a testet, és a rá ható erők a kitérésnek ,,sima'' (differenciálható) függvényei.

A rezgőmozgás összefüggései szerint a hengerpalást legnagyobb szögsebessége (amikor áthalad az egyensúlyi helyzetén):

$\displaystyle \omega_\text{max}=\alpha_0\,\Omega.$

(Vigyázat: Ne tévesszük össze a rezgőmozgás $\displaystyle \Omega$ körfrekvenciáját a test $\displaystyle \omega$ szögsebességével!)

Írjuk fel a test összes mechanikai energiáját a legnagyobb kitérésű és a legnagyobb szögsebességű állapotára, és alkalmazzuk az energiamegmaradás törvényét (2. ábra):

$\displaystyle mgd(1-\cos\alpha_0)=mgd\cdot 2\sin^2(\alpha_0/2)\approx mgd\frac{\alpha_0^2}{2}= \frac12\Theta_P \omega_\text{max}^2= \frac12\Theta_P \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\,\alpha_0^2,$

vagyis

$\displaystyle mgd=\Theta_P \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2.$

Ebben a képletben

$\displaystyle \Theta_P=\Theta_T+m(R-d)^2=\Theta_O+md^2+m(R-d)^2=2mR(R-d)$

a testnek a talajjal érintkező $\displaystyle P$ pontjára vonatkozó tehetetlenségi nyomatéka a szimmetrikus helyzetben, amint azt a Steiner-tétel kétszeri alkalmazása után kaphatjuk.

2. ábra

Az energiamegmaradás egyenletéből követketik, hogy a periódusidő

$\displaystyle T=2\pi\sqrt{\frac{2R(R-d)}{gd}}=2{,}61~\rm s.$

Statisztika:

19 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András.
4 pontot kapott:	Kertész Balázs, Ludányi Levente.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2021. januári fizika feladatai