A P. 5288. feladat (2021. január)

P. 5288. Egy akvárium fala $\displaystyle d=12$ mm vastagságú, $\displaystyle n_\text{ü}= {3}/{2}$ törésmutatójú üvegből készült. Az akváriumban $\displaystyle n_\text{v}= 4/3$ törésmutatójú vízben úszkál egy halacska. Kívülről, az akvárium falára merőleges irányból nézve a fal külső felületétől mekkora távolságra lévőnek tűnik a halacskának az a pontja, amely valójában pontosan $\displaystyle t=20$ cm távolságra van a fal külső felületétől?

Közli: Cserti József, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsük azt a fénysugarat, amely a falra merőleges irányhoz képest nagyon kicsi $\displaystyle \alpha$ szögben indul ki a halacska megfigyelt pontjából (lásd az ábrát, amely nem méretarányos). A fénysugár a víz-üveg határfelületen megtörik, és az optikai tengelyhez képest

$\displaystyle \beta=\frac{n_\text{ü}}{n_\text{v}}\,\alpha$

szögben halad tovább. (A törési törvényben a kicsiny szögek szinuszát a szögek radiánban mért értékével közelíthetjük.)

Az üveg-levegő határfelülethez érve a $\displaystyle \beta$ beesési szögű fénysugár

$\displaystyle \gamma=n_\text{ü}\,\beta=n_\text{v}\,\alpha$

szögben halad tovább.

Az ábráról leolvasható, hogy

$\displaystyle x=(t-d)\,\alpha,\qquad y=d\,\beta \qquad \text{és}\qquad x+y=k\,\gamma,$

vagyis

$\displaystyle k=\frac{t-d}{n_\text{v}}+\frac{ d}{n_\text{ü}}=\frac34\,(20~{\rm cm}-12~{\rm mm})+\frac23\,(12~{\rm mm})=149~\rm mm.$

Mivel $\displaystyle k$ nem függ a kicsiny $\displaystyle \alpha$ szögtől, valamennyi (kicsiny szögben kiinduló) fénysugár ugyanott metszi az optikai tengelyt, tehát itt, az akvárium külső falfelületétől $\displaystyle k=149~$mm távolságban jön létre a halacska kérdéses pontjának virtuális képe.

Statisztika:

20 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Beke Zsolt, Hauber Henrik, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Németh Kristóf, Selmi Bálint, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony.
3 pontot kapott:	Mócza Tamás István, Puskás Attila, Szabó Márton.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári fizika feladatai