A P. 5292. feladat (2021. január)

P. 5292. A $\displaystyle \beta^-$-bomló $\displaystyle {}^{14}\mathrm{C}$ felezési ideje 5568 év. Egy bizonyos mennyiségű szénben a 14-es izotóp kezdeti aktivitása 12 MBq volt.

$\displaystyle a)$ Hány atommag bomlott el az első percben?

$\displaystyle b)$ Hány mag bomlott el az első 10 ezer évben?

$\displaystyle c)$ Mekkora volt a kezdeti szén 14-es izotóp össztömege?

$\displaystyle d)$ A kezdethez képest mennyi idő múlva lesz a szénben a 14-es izotóp tömege $\displaystyle 1 \mu \mathrm{g}$?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2021. február 18-án LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Az aktivitás az egységnyi idő alatt bekövetkező bomlások száma. Mivel 1 perc=60 s sokkal rövidebb, mint a $\displaystyle ^{14}\rm C$ felezési ideje, az aktivitás ezen idő alatt állandónak tekinthető, és így a bomlások száma:

$\displaystyle N=\left(60~{\rm s}\right)\cdot\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)=7{,}2\cdot 10^8.$

$\displaystyle b)$ A kezdeti aktivitásból és a felezési időből kiszámítható a kezdeti részecskeszám:

$\displaystyle A=N_0\frac{\ln 2}{T_{1/2}},\qquad \text{azaz}\qquad N_0=\frac{1}{\ln2}\left(12\cdot 10^6~\frac{1}{\rm s}\right)\cdot 5568\cdot 365\cdot 24\cdot 3600~{\rm s}=3{,}04\cdot10^{18}.$

$\displaystyle t=10\,000$ év alatt a még el nem bomlott atommagok száma

$\displaystyle N(t)=N_0\,2^{-\left(t/T_{1/2}\right)}=0{,}288\,N_0=8{,}75\cdot10^{17}$

értékre csökkent, vagyis a bomlások száma:

$\displaystyle N_0-N(t)=2{,}2\cdot 10^{18}.$

$\displaystyle c)$ Kezdetben a szén-14-es izotóp tömeg:

$\displaystyle m=N_0 \frac{14~{\rm g/mol}}{6\cdot10^{23}/\rm mol}=71~\mu\rm g.$

$\displaystyle d)$ A bomlási törvény szerint

$\displaystyle 1~\mu{\rm g}=71~\mu{\rm g}\cdot 2^{-\left(t/T_{1/2}\right)},$

ahonnan a kérdéses idő:

$\displaystyle t=\frac{\ln 71}{\ln 2}\cdot 5568~\text{év}\approx 34\,200~\text{év}.$

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bagu Bálint, Albert Máté, Barta Gergely, Beke Bálint, Beke Zsolt, Biebel Botond, Bonifert Balázs, Bubics Gergely Dániel, Csapó Tamás, Csonka Illés, Dékány Csaba, Fonyi Máté Sándor, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth 999 Anikó, Horváth Antal, Juhász Márk Hunor, Kertész Balázs, Klepáček László, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Mozolai Bende Bruno, Mucsi Viktor, Nemeskéri Dániel, Schäffer Bálint, Selmi Bálint, Simon László Bence, Szász Levente, Szoboszlai Szilveszter, Takács Dóra, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony, Viczián Máté.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2021. januári fizika feladatai