A P. 5300. feladat (2021. február)

P. 5300. Egy 10 cm átmérőjű, 20 cm gyújtótávolságú lencse optikai tengelye éppen a Nap középpontja felé mutat. A lencsétől 30 cm-re síktükröt helyezünk el az ábra szerint. Az optikai tengely mentén hova kell helyezni egy igen kicsi méretű testet, hogy a hőmérséklete a leggyorsabban emelkedjék? Tiszta napsütéses időt feltételezve mennyi idő alatt olvadna meg az ott elhelyezett kicsiny, feketére kormozott alumíniumtégelyben levő $\displaystyle 0\;{}^\circ$C hőmérsékletű és $\displaystyle 0{,}1~\mathrm{cm}^3$ térfogatú jégdarab? A lencsén, a tükrön, valamint a testeken fellépő összes energiaveszteség a hasznos energia $\displaystyle 20\%$-a. A napsugárzás intenzitása a Föld felszínén $\displaystyle 0{,}1~\mathrm{W/cm}^2$, és a Nap képe kisebb, mint a tégely mérete.

Az optikai tengely mentén található még egy másik pont is, ahová helyezve a tégelyt a benne lévő jég hamarabb megolvad, mint a környező helyek bármelyikénél. Hol van ez a pont, és ott mennyi idő alatt olvad meg a jég?

Holics László feladata nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. A lencse területe $\displaystyle r^2\pi=78{,}5~\rm cm^2$, ekkora területre 7,85 W sugárzási teljesítmény esik, amelynek $\displaystyle 5/6\approx0{,}83=83$%-a, vagyis 6,5 W a melegítés szempontjából hasznos teljesítmény. Nézzük meg, hogy ekkora teljesítmény mennyi idő alatt tud megolvasztani $\displaystyle 0,1\ \text{cm}^3\ 0\ ^{\circ}\text{C}$ hőmérsékletű jeget. Az alumíniumtégely nem vesz fel hőt, hiszen az olvadás során a hőmérséklet végig $\displaystyle 0\ ^{\circ}\text{C}$ marad. A jég sűrűsége $\displaystyle 0,9\ \text{g/cm}^3$, tehát $\displaystyle 0,1\ \text{cm}^3$ jég tömege $\displaystyle 0,09\ \text{g}$. $\displaystyle 1\ \text{g}\ 0\ ^{\circ}\text{C}$-os jég megolvasztásához $\displaystyle 335~\rm J$ hő szükséges, így $\displaystyle 0,09~\text{g}$ jég megolvasztásához

$\displaystyle t=\frac{m\,L }{P}=\frac{(0,09~\text{g})\cdot 335~\rm J/g}{6{,}5~\rm W} =4{,}6\ \text{s}$

időre van szükség.

A síktükör által visszavert sugarak egy részét a lencse ismét fókuszálja, tehát a ,,második fókuszpontba'' helyezett tégelyben is gyorsabban fog megolvadni a jég , mint a környező helyeken. Az $\displaystyle F$ fókuszponton áthaladó sugarak a tükröződés után úgy haladnak tovább, mintha az $\displaystyle F'$ pontből indultak volna el. Ez a pont éppen a lencse kétszeres fókusztávolságánál van, tehát a megfelelő képtávolság is ugyanekkora lesz. A tégelyt tehát a lencse elé, attól 40 cm-távolságra elhelyezve viszonylag gyors jégolvadást várhatunk. Az ábráról leolvasható, hogy a tükröződő képalkotásban csak azok a fénysugarak vesznek rész, amelyek az optikai tengelytől mérve $\displaystyle x=2{,}5$ cm-nél kisebb távolságban érték el a lencsét. Ez a távolság a lencse sugarának felét, felületének $\displaystyle \tfrac14$ részét jelenti, tehát a második helyzetben négyszer hosszabb idő, kb. 18 s alatt olvad meg a jég.

Megjegyzések. 1. A lencse Nap felöli oldalára helyezett tégely kitakarja a napsugárzás egy részét. Ez a hatás a melegítést nem csökkenti, mert maga a tégely fogja fel a sugarakat, azok pedig közvetlenül melegítik a bekormozott fémet.

2. A feladat szövege a veszteségeket – szokatlan módon – nem az összes beeső energia, hanem a ,,hasznos'' energia 20%-ként adta meg. Ha a szokásos módon értelmezzük az arányokat, akkor 80%-os hatásfokkal kell számoljunk, és ekkor az olvadási idők mintegy 4%-kal nagyobbnak adódnak. (Bármelyik értelmezés szerint számolt megoldást – ha az egyébként helyes – teljes értékűnek fogadjuk el.)

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Gurzó József, Horváth 999 Anikó, Kertész Balázs, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Téglás Panna, Toronyi András, Török 111 László, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Hauber Henrik, Tóth Ábel.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2021. februári fizika feladatai