 |
A P. 5301. feladat (2021. február) |
P. 5301. Pontszerű \(\displaystyle Q\) töltés elektromos erőterében, tőle \(\displaystyle R\) távolságban szabadon forgó, \(\displaystyle p\) momentumú, pontszerű elektromos dipólus van. Mekkora munkát kell végeznünk, ha a dipólust a rögzített töltéstől nagyon messzire (a ,,végtelenbe'') távolítjuk?
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.
I. megoldás. A \(\displaystyle p\) dipólmomentumú dipólus egymástól nagyon kicsi \(\displaystyle d\) távolságban elhelyezkedő, \(\displaystyle Q'=\pm p/d\) nagyságú ponttöltésekből áll. A kezdeti állapotban a \(\displaystyle -Q'\) töltéstől a \(\displaystyle +Q'\) töltés felé mutató \(\displaystyle \boldsymbol p\) dipólmumentum-vektor a \(\displaystyle Q\) töltéssel ellentétes irányba mutat. A dipólustól \(\displaystyle R\) távolságban az elektromos potenciál:
\(\displaystyle \Phi(R)=\frac{Q'}{4\pi\varepsilon_0}\left(\frac{1}{R+d}-\frac{1}{R} \right)=-\frac{Q'd}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R(R+d)} \approx -\frac{Q'd}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}=-\frac{p}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)
A rögzített \(\displaystyle Q\) töltés és a dipólus eltávolítása során végzett munka ugyanannyi, mintha a rögzített dipólustól távolítanánk el a \(\displaystyle Q\) töltést. Ez pedig
\(\displaystyle W=Q\,\Phi(\infty)- Q\,\Phi(R) =\frac{pQ}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)
II. megoldás. A ponttöltés elektromos térerőssége a töltéstől \(\displaystyle R\) távolságban
\(\displaystyle \vert {\boldsymbol E}\vert = E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{1}{R^2}.\)
Adott \(\displaystyle {\boldsymbol E}\) elektromos térben egy \(\displaystyle {\boldsymbol p}\) dipólmumentum energiája \(\displaystyle -{\boldsymbol p}{\boldsymbol E}\). Kezdetben a dipólus-vektor és a külső elektromos tér iránya megegyezik, hiszen ilyen helyzetben a legkisebb a szabadon forgó dipólus energiája.
Forgassuk el a dipólust \(\displaystyle 90^\circ\)-kal, tehát hozzuk olyan helyzetbe, hogy \(\displaystyle {\boldsymbol p}\) és \(\displaystyle {\boldsymbol E}\) legyenek merőlegesen egymásra. Ehhez \(\displaystyle W=pE\) munkát kell végezzünk. Mivel az elforgatott dipól és a ponttöltés közötti eredő erő nulla, a dipólust további munkavégzés nélkül nagyon messzire eltávolíthatjuk a ponttöltéstől. A kérdéses munka tehát
\(\displaystyle W=pE =\frac{pQ}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{R^2}.\)
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Beke Bálint, Berkesi Tímea, Dékány Csaba, Gurzó József, Hauber Henrik, Ludányi Levente, Nemeskéri Dániel, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 3 pontot kapott: Mihalik Bálint. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző. Nem versenyszerű: 5 dolgozat.
A KöMaL 2021. februári fizika feladatai