Problem P. 5303. (February 2021)
P. 5303. The bullet of a gun hits a wooden target at a speed of 500 m/s, and penetrates into it to a depth of 5 cm. The bullet can be considered as a solid cylinder of length 4 cm, and of density 7800 kg/m\(\displaystyle ^3\), which is decelerated uniformly.
\(\displaystyle a)\) Estimate the maximum of the mechanical tension occurring due to the deceleration of the bullet.
\(\displaystyle b)\) Estimate the maximum value of the voltage which can be measured between the two ends of the cylinder due to the inertia of the electrons.
(5 pont)
Deadline expired on March 16, 2021.
Sorry, the solution is available only in Hungarian. Google translation
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha a \(\displaystyle v_0\) sebességű lövedék egyenletesen fékeződve \(\displaystyle s\) út megtétele után áll meg, akkor a lassulása:
\(\displaystyle a=\frac{v_0^2}{2s}=\frac{(500~\rm m/s)^2}{2\cdot 0{,}05~\rm m}=2{,}5\cdot 10^6~\frac{\rm m}{\rm s^2}, \)
ami \(\displaystyle 250\,000~g\)-nek felel meg.
Feltételezve, hogy az \(\displaystyle \ell\) hosszú és \(\displaystyle A\) keresztmetszetű lövedék fékeződését a henger ,,előlapjánál'' fellépő \(\displaystyle F=Ma\) erő okozza, a kialakuló maximális mechanikai feszültség
\(\displaystyle \sigma=\frac{F}{A}=\frac{\varrho \ell A a}{A}=\varrho \ell a=(7800\cdot0{,}04\cdot 2{,}5\cdot 10^6)~{\rm Pa}=780~\rm MPa.\)
A mechanikai feszültség a lövedék mentén fokozatosan változik, a ,,hátsó'' lapjánál már nullára csökken.
\(\displaystyle b)\) A fémben az elektronok szabadon tudnak mozogni, a kristályrács nem fékezi őket. A fékeződő fémben az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle e\) töltésű elektronok a lövedék elején összesűrűsödnek, a lövedék végénél pedig ritkulnak. Mindez addig tart, amíg a kialakuló elektromos mező ugyanakkora lassulást képes előidézni, mint amekkora az egész lövedék lassulása. Az \(\displaystyle eE=ma\) egyenletnek megfelelően a térerősség \(\displaystyle E=ma/e,\) az \(\displaystyle \ell\) hosszon kialakuló elektromos feszültség pedig
\(\displaystyle U=E\ell=\frac{ma\ell}{e}=\frac{\left(9{,}11\cdot 10^{-31}~{\rm kg}\right)\cdot \left(2{,}5\cdot 10^6~ {\rm m}/{\rm s^2} \right)\cdot \left( 0{,}04~\rm m\right)} {1{,}6\cdot10^{-19}~\rm C}=0{,}57~\mu\rm V. \)
Statistics:
43 students sent a solution. 5 points: Antalóczy Szabolcs, Barna Benedek, Biebel Botond, Bognár 171 András Károly, Bonifert Balázs, Fekete András Albert, Gábriel Tamás, Gurzó József, Hauber Henrik, Horváth Antal, Kertész Balázs, Kovács Kinga, Kozák Gergely, Ludányi Levente, Mozolai Bende Bruno, Perényi Barnabás, Puskás Attila, Sas 202 Mór, Somlán Gellért, Strinyi Péter, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András, Tóth Ábel, Török 111 László, Varga Vázsony. 4 points: Albert Máté, Ruzsa Bence. 3 points: 3 students. 2 points: 8 students. 1 point: 2 students. Unfair, not evaluated: 2 solutionss.
Problems in Physics of KöMaL, February 2021