A P. 5304. feladat (2021. február)

P. 5304. Egy mozdulatlan test az Egyenlítőn helyezkedik el. Mikor kisebb a test súlya: délben vagy éjfélkor? Mekkora a test súlyának relatív megváltozása 12 óra alatt?

(A Napon és a Földön kívül más égitestek hatását ne vegyük figyelembe!)

Közli: Holics László, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a test tömegét $\displaystyle m$-mel, a Nap tömegét $\displaystyle M$-mel, a Föld sugarát $\displaystyle r$-rel, a Nap-Föld távolságot $\displaystyle R$-rel, a Föld középpontjának keringési szögsebességét pedig $\displaystyle \omega$-val! A Föld mozgásegyenlete:

Az Egyenlítőn elhelyezkedő test mozgása a Föld forgómozgásából és a Nap körüli keringésből tevődik össze. A déli és az éjféli helyzetet annyiban más, hogy a Nap délben felfelé, éjfélkor pedig lefelé húzza a testet. A Föld forgásából és a Föld gravitációs vonzásából adódó erők délben és éjfélkor ugyanakkorák, az erők különbségéből tehát kiesnek. Emiatt (az erőkülönbség szempontjából) képzelhetjük úgy a Föld forgását, mintha a periódusideje 1 év lenne, vagyis mintha (a Holdhoz hasonlóan) mindig ugyanazt az oldalát mutatná a Nap felé.

Legyen a súlyerő (amit egy igen pontos mérleg mutatna) $\displaystyle G_\text{dél}$ és $\displaystyle G_\text{éjfél}$, a Föld gravitációs vonzóereje pedig $\displaystyle G_0$. (A Föld középpontja felé mutató irányt tekintsük pozitívnak.) A vizsgált test mozgásegyenlete

$\displaystyle G_0-G_\text{dél}-\gamma\frac{mM}{(R-r)^2}=-m(R-r)\omega^2,$

illetve

$\displaystyle G_0-G_\text{éjfél}+\gamma\frac{mM}{(R+r)^2}=m(R+r)\omega^2.$

A fenti két egyenletet kivonva egymásból, továbbá (1) alapján $\displaystyle \gamma M$-et $\displaystyle R^3\omega^2$-tel helyettesítve kapjuk, hogy

$\displaystyle G_\text{éjfél}-G_\text{dél}=mR\omega^2\left[\frac{1}{(1-r/R)^2}+\frac{1}{(1+r/R)^2}-2\right].$

Mindkét súly jó közelítéssel $\displaystyle G_0=mg$-vel egyenlő, így a relatív súlyváltozás:

ahol

$\displaystyle \varepsilon=\frac{r}{R}=\frac{6378~\rm km}{150~\text{millió km}}=4{,}25\cdot10^{-5}\ll 1.$

A (2) egyenlet jobb oldalán a szögletes zárójelben álló kifejezés értékét közvetlenül (pl. egy zsebszámológéppel) nem tudjuk kiszámítani, mert majdnem pontosan egyforma számok különbségét tartalmazza. Ha viszont közös nevezőre hozzuk, a következő eredményt kapjuk:

$\displaystyle \frac{1}{(1-\varepsilon)^2}+\frac{1}{(1+\varepsilon)^2}-2=\frac{(1+\varepsilon)^2+(1-\varepsilon)^2- 2(1-\varepsilon^2)^2}{(1-\varepsilon^2)^2}\approx 6\varepsilon^2\approx 1{,}1\cdot10^{-8}.$

(Az utolsó előtti lépésnél a számlálóban és a nevezőben is $\displaystyle \varepsilon$-nak csak a legkisebb kitevőjű hatványát tartottuk meg.) Mivel

$\displaystyle \frac{R\omega^2}{g}=\frac{1{,}5\cdot 10^{11}~{\rm m}}{9{,}8~\rm m/s^2}\left(\frac{2\pi}{1~\text{év}}\right)^2\approx 6\cdot10^{-4},$

a relatív súlyváltozás tehát

$\displaystyle \frac{\Delta G}{G_0}\approx 7\cdot 10^{-12}.$

Összefoglalva arra jutottunk, hogy az Egyenlítőn éjfélkor a testek az átlagos súlyukhoz képest $\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{-12}$-szer nehezebbek, délben pedig ugyanennyivel könnyebbek. Ennek a súlyváltozásnak azonban nem egyszerűen az az oka, hogy a Nap gravitációs tere éjfélkor lefelé, délben pedig felfelé húzza a testet, hiszen a testek nem állnak, hanem keringenek a Nap körül. Ilyen pontossággal a testek súlyát nem tudjuk megmérni, tehát a súlyváltozást a gyakorlatban aligha lehet kísérletileg kimutatni.

Megjegyzés. A fenti megoldás során az Egyenlítő síkjának és a keringés síkjának $\displaystyle 23{,}^\circ$-os hajlásszögét nem vettük számításba. Ha ezt megtesszük, a fenti értéktől kb. 10%-kal eltérő eredményt kapunk, tehát a relatív súlyváltozás nagyságrendje ugyanannyinak adódik.

Statisztika:

37 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Ludányi Levente, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.

A KöMaL 2021. februári fizika feladatai