 |
A P. 5304. feladat (2021. február) |
P. 5304. Egy mozdulatlan test az Egyenlítőn helyezkedik el. Mikor kisebb a test súlya: délben vagy éjfélkor? Mekkora a test súlyának relatív megváltozása 12 óra alatt?
(A Napon és a Földön kívül más égitestek hatását ne vegyük figyelembe!)
Közli: Holics László, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2021. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a test tömegét \(\displaystyle m\)-mel, a Nap tömegét \(\displaystyle M\)-mel, a Föld sugarát \(\displaystyle r\)-rel, a Nap-Föld távolságot \(\displaystyle R\)-rel, a Föld középpontjának keringési szögsebességét pedig \(\displaystyle \omega\)-val! A Föld mozgásegyenlete:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle \gamma\frac{M}{R^2}=R\omega^2.\) |
Az Egyenlítőn elhelyezkedő test mozgása a Föld forgómozgásából és a Nap körüli keringésből tevődik össze. A déli és az éjféli helyzetet annyiban más, hogy a Nap délben felfelé, éjfélkor pedig lefelé húzza a testet. A Föld forgásából és a Föld gravitációs vonzásából adódó erők délben és éjfélkor ugyanakkorák, az erők különbségéből tehát kiesnek. Emiatt (az erőkülönbség szempontjából) képzelhetjük úgy a Föld forgását, mintha a periódusideje 1 év lenne, vagyis mintha (a Holdhoz hasonlóan) mindig ugyanazt az oldalát mutatná a Nap felé.
Legyen a súlyerő (amit egy igen pontos mérleg mutatna) \(\displaystyle G_\text{dél}\) és \(\displaystyle G_\text{éjfél}\), a Föld gravitációs vonzóereje pedig \(\displaystyle G_0\). (A Föld középpontja felé mutató irányt tekintsük pozitívnak.) A vizsgált test mozgásegyenlete
\(\displaystyle G_0-G_\text{dél}-\gamma\frac{mM}{(R-r)^2}=-m(R-r)\omega^2,\)
illetve
\(\displaystyle G_0-G_\text{éjfél}+\gamma\frac{mM}{(R+r)^2}=m(R+r)\omega^2.\)
A fenti két egyenletet kivonva egymásból, továbbá (1) alapján \(\displaystyle \gamma M\)-et \(\displaystyle R^3\omega^2\)-tel helyettesítve kapjuk, hogy
\(\displaystyle G_\text{éjfél}-G_\text{dél}=mR\omega^2\left[\frac{1}{(1-r/R)^2}+\frac{1}{(1+r/R)^2}-2\right].\)
Mindkét súly jó közelítéssel \(\displaystyle G_0=mg\)-vel egyenlő, így a relatív súlyváltozás:
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle \frac{\Delta G}{G_0}=\frac{R\omega^2}{g}\left[\frac{1}{(1-\varepsilon)^2}+\frac{1}{(1+\varepsilon)^2}-2\right],\) |
ahol
\(\displaystyle \varepsilon=\frac{r}{R}=\frac{6378~\rm km}{150~\text{millió km}}=4{,}25\cdot10^{-5}\ll 1.\)
A (2) egyenlet jobb oldalán a szögletes zárójelben álló kifejezés értékét közvetlenül (pl. egy zsebszámológéppel) nem tudjuk kiszámítani, mert majdnem pontosan egyforma számok különbségét tartalmazza. Ha viszont közös nevezőre hozzuk, a következő eredményt kapjuk:
\(\displaystyle \frac{1}{(1-\varepsilon)^2}+\frac{1}{(1+\varepsilon)^2}-2=\frac{(1+\varepsilon)^2+(1-\varepsilon)^2- 2(1-\varepsilon^2)^2}{(1-\varepsilon^2)^2}\approx 6\varepsilon^2\approx 1{,}1\cdot10^{-8}.\)
(Az utolsó előtti lépésnél a számlálóban és a nevezőben is \(\displaystyle \varepsilon\)-nak csak a legkisebb kitevőjű hatványát tartottuk meg.) Mivel
\(\displaystyle \frac{R\omega^2}{g}=\frac{1{,}5\cdot 10^{11}~{\rm m}}{9{,}8~\rm m/s^2}\left(\frac{2\pi}{1~\text{év}}\right)^2\approx 6\cdot10^{-4}, \)
a relatív súlyváltozás tehát
\(\displaystyle \frac{\Delta G}{G_0}\approx 7\cdot 10^{-12}.\)
Összefoglalva arra jutottunk, hogy az Egyenlítőn éjfélkor a testek az átlagos súlyukhoz képest \(\displaystyle 3{,}5\cdot 10^{-12}\)-szer nehezebbek, délben pedig ugyanennyivel könnyebbek. Ennek a súlyváltozásnak azonban nem egyszerűen az az oka, hogy a Nap gravitációs tere éjfélkor lefelé, délben pedig felfelé húzza a testet, hiszen a testek nem állnak, hanem keringenek a Nap körül. Ilyen pontossággal a testek súlyát nem tudjuk megmérni, tehát a súlyváltozást a gyakorlatban aligha lehet kísérletileg kimutatni.
Megjegyzés. A fenti megoldás során az Egyenlítő síkjának és a keringés síkjának \(\displaystyle 23{,}^\circ\)-os hajlásszögét nem vettük számításba. Ha ezt megtesszük, a fenti értéktől kb. 10%-kal eltérő eredményt kapunk, tehát a relatív súlyváltozás nagyságrendje ugyanannyinak adódik.
Statisztika:
37 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Ludányi Levente, Tóth Ábel. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 27 versenyző.
A KöMaL 2021. februári fizika feladatai