 |
A P. 5311. feladat (2021. március) |
P. 5311. Az elektromos térerősség a tengerszinten kb. 100 V/m, és az ionoszféra magassága 10 km. A földi mágneses tér tengerszinten átlagosan \(\displaystyle 10^{-5}\) T, és a Föld középpontjától mért távolság köbével fordítottan arányos. Becsüljük meg nagyságrendileg a Föld körüli magnetosztatikus energia és az elektrosztatikus energia arányát!
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az \(\displaystyle R\) sugarú Föld elektromos erőtere a földfelszín és a \(\displaystyle h\) magasságú ionoszféra közötti \(\displaystyle 4R^2\pi h\) térfogatú térrészben számottevő, és ott mindenhol \(\displaystyle E_0\) nagyságúnak tekinthető. Az elektrosztatikus energia a légkörben
\(\displaystyle W_\text{elektomos}=\frac{\epsilon_0}{2}\cdot4R^2\pi h\cdot E_0^2.\)
A mágneses mező energiasűrűsége \(\displaystyle B^2/(2\mu_0)\), ami a föld középpontjától mért \(\displaystyle r\) távolsággal \(\displaystyle (R/r)^6\) arányban csökken. Az a térfogat, amelyből a (Föld felszíne feletti) mágneses energia származik, nagyságrendileg a Föld térfogatával egyezik meg, hiszen \(\displaystyle B(r)\) gyors ütemben csökken. A mágneses energia nagyságrendi becslésénél tehát számolhatunk úgy, mintha \(\displaystyle 4R^3\pi/3\) térfogatban a földfelszíni \(\displaystyle B_0\)-lal megegyező nagyságú lenne az indukcióvektor nagysága, azon kívül pedig nulla:
\(\displaystyle W_\text{mágneses}=\frac{1}{2\mu_0}\cdot\frac{4R^3\pi}{3}\cdot B_0^2 .\)
A kétféle energia aránya:
\(\displaystyle \frac{W_\text{mágneses}}{W_\text{elektromos}}=\frac{1}{3\mu_0\varepsilon_0}\,\frac{R}{h}\,\left( \frac{B_0}{E_0} \right)^2= \frac{(3\cdot10^8)^2}{3}\,\frac{6400}{10}\,\left(\frac{10^{-5}}{100}\right)^2 \approx 200\,000.\)
A földi mágneses tér (annak a felszín feletti része) tehát öt nagyságrenddel több energiát hordoz, mint a légköri elektromosság.
Statisztika:
23 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bonifert Balázs, Gurzó József, Kertész Balázs, Ludányi Levente, Somlán Gellért, Szász Levente, Téglás Panna, Toronyi András, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Horváth Antal. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 3 versenyző.
A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai