A P. 5313. feladat (2021. március)

P. 5313. Egy protonnyalábot álló céltárgyra ejtünk. Ha a nyalábban lévő protonok mozgási energiája nagyobb egy kritikus $\displaystyle E_\text{krit}$ értéknél, akkor a beeső protonok a céltárgyban lévő, nyugvónak tekinthető protonokkal ütközve pozitív pionokat ($\displaystyle \pi^+$) kelthetnek az alábbi módon:

$\displaystyle \mathrm{p}^+ +\mathrm{p}^+ \Rightarrow\mathrm{p}^+ +\mathrm{n}^0 +\pi^+.$

Határozzuk meg $\displaystyle E_\text{krit}$ értékét MeV egységekben!

Felhasználható adatok: a proton nyugalmi energiája 938,27 MeV, a neutron nyugalmi energiája 939,57 MeV, a pion nyugalmi energiája 139,57 MeV.

Közli: Vigh Máté, Biatorbágy

(5 pont)

A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Az energia és az impulzus között mindegyik részecskére fennáll az

$\displaystyle E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}$

összefüggés. ,,Beülve'' a protonok tömegközépponti rendszerébe könnyen belátható, hogy ha a beeső protonnyaláb energiája éppen akkora, mint a részecskereakcióhoz szükséges minimális energia, akkor a keletkező proton, neutron és pion nyugalomban marad. A laborrendszerbe visszatérve ez azt jelenti, hogy a három részecske együtt mozog, azaz úgy kezelhető, mintha egyetlen, $\displaystyle m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi}$ tömegű részecske lenne. Az energiamegmaradás a laborrendszerben így írható tehát:

$\displaystyle \sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}+m_{\rm p}c^2=\sqrt{p^2c^2+(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^4},$

ahol $\displaystyle p$ a beeső protonok impulzusa. A fenti egyenletet négyzetre emelve kapjuk, hogy

$\displaystyle 2m_{\rm p}\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}=(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^2-2 m_{\rm p}^2 c^2,$

ahonnan a beeső proton kritikus mozgási energiája is kifejezhető:

$\displaystyle E_{\textrm{krit}}=\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}-m_{\rm p}c^2= \frac{(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2-4m_{\rm p}^2}{2m_{\rm p}}\,c^2=292~\textrm{ MeV}.$

Megjegyzés. Ha csak a reakció előtti és utáni nyugalmi energiák különbségéből számítjuk ki a kritikus energiát, akkor 141 MeV-et kapunk, ami hibás eredmény, mert ellentmond az impulzusmegmaradás törvényének.

Statisztika:

24 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel.
4 pontot kapott:	Albert Máté, Gurzó József, Selmi Bálint.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai