 |
A P. 5313. feladat (2021. március) |
P. 5313. Egy protonnyalábot álló céltárgyra ejtünk. Ha a nyalábban lévő protonok mozgási energiája nagyobb egy kritikus \(\displaystyle E_\text{krit}\) értéknél, akkor a beeső protonok a céltárgyban lévő, nyugvónak tekinthető protonokkal ütközve pozitív pionokat (\(\displaystyle \pi^+\)) kelthetnek az alábbi módon:
\(\displaystyle \mathrm{p}^+ +\mathrm{p}^+ \Rightarrow\mathrm{p}^+ +\mathrm{n}^0 +\pi^+. \)
Határozzuk meg \(\displaystyle E_\text{krit}\) értékét MeV egységekben!
Felhasználható adatok: a proton nyugalmi energiája 938,27 MeV, a neutron nyugalmi energiája 939,57 MeV, a pion nyugalmi energiája 139,57 MeV.
Közli: Vigh Máté, Biatorbágy
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. április 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Az energia és az impulzus között mindegyik részecskére fennáll az
\(\displaystyle E=\sqrt{p^2c^2+m^2c^4}\)
összefüggés. ,,Beülve'' a protonok tömegközépponti rendszerébe könnyen belátható, hogy ha a beeső protonnyaláb energiája éppen akkora, mint a részecskereakcióhoz szükséges minimális energia, akkor a keletkező proton, neutron és pion nyugalomban marad. A laborrendszerbe visszatérve ez azt jelenti, hogy a három részecske együtt mozog, azaz úgy kezelhető, mintha egyetlen, \(\displaystyle m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi}\) tömegű részecske lenne. Az energiamegmaradás a laborrendszerben így írható tehát:
\(\displaystyle \sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}+m_{\rm p}c^2=\sqrt{p^2c^2+(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^4},\)
ahol \(\displaystyle p\) a beeső protonok impulzusa. A fenti egyenletet négyzetre emelve kapjuk, hogy
\(\displaystyle 2m_{\rm p}\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}=(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2c^2-2 m_{\rm p}^2 c^2,\)
ahonnan a beeső proton kritikus mozgási energiája is kifejezhető:
\(\displaystyle E_{\textrm{krit}}=\sqrt{p^2c^2+m_{\rm p}^2c^4}-m_{\rm p}c^2= \frac{(m_{\rm p}+m_{\rm n}+m_{\pi})^2-4m_{\rm p}^2}{2m_{\rm p}}\,c^2=292~\textrm{ MeV}.\)
Megjegyzés. Ha csak a reakció előtti és utáni nyugalmi energiák különbségéből számítjuk ki a kritikus energiát, akkor 141 MeV-et kapunk, ami hibás eredmény, mert ellentmond az impulzusmegmaradás törvényének.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Koleszár Benedek, Ludányi Levente, Mihalik Bálint, Mócza Tamás István, Somlán Gellért, Téglás Panna, Tóth Ábel. 4 pontot kapott: Albert Máté, Gurzó József, Selmi Bálint. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2021. márciusi fizika feladatai