 |
A P. 5318. feladat (2021. április) |
P. 5318. Egyes elképzelések szerint a sötét anyag hipotetikus részecskéi (blacktonok) úgy mozognak az intergalaktikus térben, hogy a sebességükkel ellentétes irányú erő hat rájuk. Az erő nagyságának sebességfüggését ma még nem ismerjük, csak annyit tudunk, hogy két különböző sűrűségű térrészben a fékezőerők aránya minden sebességnél ugyanakkora. Bizonyos \(\displaystyle v_0\) kezdősebességű blackton-részecskék egy ritkább térrészben 3 fényévnyi út megtétele után állnak meg, a sűrűbb térben pedig 2 fényévnyi úton fékeződnek le. Mekkora út megtétele után állnak meg a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességű blacktonok, ha egy 1,5 fényév vastagságú, sűrűbb réteg után a ritkább anyageloszlású térbe jutnak?
Közli: Gnädig Péter, Vácduka
(5 pont)
A beküldési határidő 2021. május 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Legyen a ritkább térrészben tetszőleges \(\displaystyle v\) kezdősebességgel induló részecskének a megállásig megtett útja \(\displaystyle s_1=f_1(v)\), a sűrűbb közegben ugyanez \(\displaystyle s_2=f_2(v)\). Az \(\displaystyle f_1(v)\) és \(\displaystyle f_2(v)\) függvények alakját az erőtörvény ismerete nélkül nem tudjuk megadni, de belátjuk, hogy a megtett utak aránya \(\displaystyle v\)-től független állandó:
\(\displaystyle \frac{f_1(v)}{f_2(v)}=\frac32.\)
Megjegyzés. Korábban már megjelent a KöMaL-ban két, a mostanihoz hasonló feladat. A P. 5244. feladatban (2020. szeptember) a lassulás állandó \(\displaystyle a_0\) nagyságú volt, ilyenkor \(\displaystyle f(v)=v^2_0/(2a_0)\). A 2020. decemberben kitűzött P. 5282. feladatban a fékezőerő a sebességgel arányos volt, ebben az esetben \(\displaystyle f(v)=k\cdot v\). Mindkét problémánál igaz, hogy az \(\displaystyle \frac{f_1(v)}{f_2(v)}\) arány \(\displaystyle v\)-től független állandó. Ez az érdekes tulajdonság tetszőleges erőtörvény esetén érvényes, ha az erők aránya minden sebességnél ugyanakkora.
Legyen az egyik közegben a fékezőerő \(\displaystyle F_1(v)\), a másikban \(\displaystyle F_2(v)\), a \(\displaystyle v_0\) kezdősebességű részecske mozgási energiája pedig \(\displaystyle E_0\). A newtoni mechanikában \(\displaystyle E_0=\tfrac12mv_0^2\), a relativisztikus törvények szerint pedig
\(\displaystyle E_0=\frac{m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m_0c^2.\)
A további megfontolásainknál nem lényeges \(\displaystyle E(v_0)\) konkrét alakja, tehát az eredményünk a fénysebességhez közeli sebességgel induló részecskékre is érvényes lesz. Azt azonban tudjuk, hogy az egyforma sebességgel induló részecskék mozgási energiája kezdetben ugyanakkora.
Alkalmazzuk a munkatételt mindkét esetben egy \(\displaystyle E_0\) mozgási energiával induló részecskére. Az éppen \(\displaystyle v\) sebességű részecske mozgási energiájának megváltozása (csökkenése) egy kicsiny \(\displaystyle \Delta x\) út megtétele után
\(\displaystyle \Delta E(v)=-F(v)\cdot \Delta x,\)
azaz
\(\displaystyle \Delta x=\frac{\vert\Delta E(v)\vert}{F(v)}.\)
Összegezzük a kicsiny elmozdulásokat a részecske teljes útvonalára, vagyis amíg a mozgási energia \(\displaystyle E_0\)-ról nullára csökken. Írjuk fel a megtett út képletét mindkét térrészben végbemenő mozgásra:
\(\displaystyle \sum \Delta x=\sum\frac{\Delta E(v)}{F(v)},\)
vagyis
\(\displaystyle s_1=\sum\frac{\Delta E(v)}{F_1(v)},\qquad \text{illetve} \qquad s_2=\sum\frac{\Delta E(v)}{F_2(v)}.\)
Tudjuk, hogy \(\displaystyle F_1(v)\) és \(\displaystyle F_2(v)\) aránya a \(\displaystyle v\) sebességtől független állandó, aminek nagysága \(\displaystyle \frac23\), hiszen \(\displaystyle \frac{s_1}{s_2}=\frac32.\)
A sűrűbb közegben 1,5 fényév megtétele után a részecske sebessége valamekkora \(\displaystyle v^*\) értékre csökken, de még nem áll meg. Ha továbbra is a sűrűbb térrészben haladna, akkor még 0,5 fényévnyi utat tenne meg, tehát \(\displaystyle f_2(v^*)=0{,}5\) fényév. Ha viszont a részecske \(\displaystyle v^*\) kezdősebességgel a ritkább térrészben halad tovább, a megállásig további
\(\displaystyle f_1(v^*)=\tfrac{3}{2}f_2(v^*)=0{,}75~\text{fényév}\)
utat tesz meg.
A sötét anyag (hipotetikus) részecskéi tehát összesen \(\displaystyle 1{,}5+0{,}75=2{,}25\) fényév utat tesznek meg a megállásukig.
Statisztika:
25 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bognár 171 András Károly, Kertész Balázs, Koleszár Benedek, Toronyi András, Tóth Ábel, Varga Vázsony. 4 pontot kapott: Barna Benedek. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 16 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2021. áprilisi fizika feladatai